Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Áp dụng cosi được:
\(A=ad+bc\ge2\sqrt{abcd}=2\)
Vậy GTNN là A = 2
b/ \(B=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}=9\)
bạn ơi phần b sao lại ra như thế được? vẫn cosi hay j khác vậy Hung nguyen...
A=\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
= \(\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)
= \(2+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}\)
⇔\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
⇔\(2+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge4\)
⇔ A ≥4
=> Min A =4
dấu "=" xảy ra khi
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\)
⇔a2=b2
⇔a=b
vậy Min A =4 khi a=b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được:
\(B=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{1+a+1+b+1+c}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{9}{3+a+b+c}\) (1)
Vì \(a+b+c\le3\Rightarrow3+a+b+c\le6\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+a+b+c}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\) (2)
Từ (1),(2) \(\Rightarrow B\ge\dfrac{3}{2}\)
=> MinB = \(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy MinB = \(\dfrac{3}{2}\) khi a = b = c = 1
Theo BĐT Cauchy ta có :
\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge\dfrac{9}{3+a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(MAX_B=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a) \(B=\)\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}{\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}\) ĐKXĐ: x>0
=\(\dfrac{\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}}{\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\)
=\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\times\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b)
Theo câu a ) ta có :
B=\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
Xét : \(x+\sqrt{x}+1=x+2.\sqrt{x}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
=\(\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) (với mọi x>0) (1)
Xét:
\(\sqrt{x}>0\) (2)
Từ (1) và (2) =>\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>0\) (ĐPCM)
c) B=\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) ( theo câu a)
=\(\dfrac{x}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\)
=\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\)
Áp dụng BĐT cô si cho \(\sqrt{x}\)và \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
Ta có : \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\)
=2
Vậy :\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\ge2+1\)
Hay\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\ge3\)
Min B= 3 Dấu "=" xảy ra khi x=1
CHÚC BẠN HỌC TỐT
Đầu tiên ta chứng minh bđt:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng \(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{4^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow MINP=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=2\)
Bài 2:
Bài 1:
\(a^2+b^2+c^2=14\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-2ab-2bc-2ac=14\)\(\Leftrightarrow-2\left(ab+bc+ac\right)=14\Rightarrow ab+bc+ac=-7\)\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=49\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=49\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=49\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)\(=14^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=196-2.49=98\)
2,
ÁP dụng bđt phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(Tự cm) ta có
\(B\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ac}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{4}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
Tiếp tục sử dụng bđt \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}=9+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
SD bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge21\)
Do đo \(B\ge21+9=30\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Bài 1 SD cái bđt \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}+\dfrac{d^2}{t}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{x+y+z+t}\)
Phương pháp : nhân các phân thức lần lượt vs tử của nó để xuất hiện bình phương biến đổi mẫu sao cho xuất hiện a +b+c+d .
Ngại trình bày vì dài quá
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)
\(\Rightarrow3.P\ge9\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)