Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:
d(I, α) = ∣∣ ∣∣2.3−2.(−2)−1+9√22+(−2)2+(−1)2∣∣ ∣∣=183=6|2.3−2.(−2)−1+922+(−2)2+(−1)2|=183=6
Vì d(I, α) < R ⇒⇒ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):
{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100
Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến →nn→ = (2, -2. -1).
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận →nn→ = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=−2−2tz=1−t{x=3+2ty=−2−2tz=1−t
Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3{x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3
⇒⇒ K(-1, 2, 3)
Ta có: IK2 = (-1 - 3)2 + (2 + 2)2 + (3 - 1)2 = 36.
Bán kính r của đường tròn (C) là:
r2 = R2 - IK2 = 102 - 36 = 64 ⇒⇒ r= 8
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:
d(I, α) = ∣∣ ∣∣2.3−2.(−2)−1+9√22+(−2)2+(−1)2∣∣ ∣∣=183=6|2.3−2.(−2)−1+922+(−2)2+(−1)2|=183=6
Vì d(I, α) < R ⇒⇒ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):
{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100
Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến →nn→ = (2, -2. -1).
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận →nn→ = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=−2−2tz=1−t{x=3+2ty=−2−2tz=1−t
Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3{x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3
⇒⇒ K(-1, 2, 3)
Ta có: IK2 = (-1 - 3)2 + (2 + 2)2 + (3 - 1)2 = 36.
Bán kính r của đường tròn (C) là:
r2 = R2 - IK2 = 102 - 36 = 64 ⇒⇒ r= 8
Gọi mặt phẳng là (P) dễ kí hiệu
\(d\left(M;\left(P\right)\right)=\frac{\left|-6+2+2-7\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1}}=\frac{9}{3}=3\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(R=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
Phương trình mặt cầu:
\(\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=25\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+6x-2y-4z-11=0\)
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Gọi r là bán kinh đường tròn thiết diện, theo giả thiết ta có : \(S=\pi\Leftrightarrow r^2.\pi=\pi\Rightarrow r=1\)
Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\alpha\), ta có \(d^2=R^2-r^2=5-1\Rightarrow d=2\)
Mặt phẳng \(\alpha\), qua N (0;-1;0) có dạng \(Ax+B\left(y+1\right)+Cz=0\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B=0\left(A^2+B^2+C^2\ne0\right)\)
Mặt khác, \(\alpha\) qua M(1;-1;1) nên thỏa mãn \(A+C=0\Rightarrow\text{ }\) \(\alpha:Ax+By-Az+B=0\)
Vì \(d=d\left(I,\alpha\right)=\frac{\left|-3A\right|}{\sqrt{2A^2+B^2}}=2\Leftrightarrow A^2=4B^2\Rightarrow\frac{A}{B}=\pm2\) vì \(A^2+B^2+C^2\ne0\)
Do đó có 2 mặt phẳng \(\alpha\), cần tìm là \(2x+y-2z+1=0\) và \(2x-y-2z-1=0\)
14.
\(d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2.2+2-8\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^2}}=3\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(R=\sqrt{4^2+d^2\left(I;\left(P\right)\right)}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)
Phương trình mặt cầu:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=25\)
15.
\(\overrightarrow{AB}=\left(2;1;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-12;6;0\right)\)
\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(12;24;24\right)=12\left(1;2;2\right)\)
\(\Rightarrow\) Mặt phẳng (ABC) nhận \(\left(1;2;2\right)\) là 1 vtpt
18.
\(D\in Ox\Rightarrow D\left(a;0;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=\left(a-3;4;0\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(4;0;-3\right)\end{matrix}\right.\)
\(AD=BC\Leftrightarrow\left(a-3\right)^2+4^2=4^2+\left(-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}D\left(0;0;0\right)\\D\left(6;0;0\right)\end{matrix}\right.\)
11.
Mặt cầu (S) tâm \(I\left(1;-2;0\right)\) bán kính \(R=\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2-\left(-4\right)}=3\)
\(d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2-0+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{3}\)
Gọi bán kính đường tròn (C) là \(r\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(r=\sqrt{R^2-d^2\left(I;\left(P\right)\right)}=\sqrt{6}\)
Diện tích đường tròn: \(S=\pi r^2=6\pi\)
19.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-4}+\frac{z}{-2}=1\)
\(\Leftrightarrow4x-3y-6z-12=0\)
20.
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn:
\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\)
\(\Leftrightarrow6x+3y+2z-6=0\)
Chẳng đáp án nào đúng cả, chắc bạn ghi nhầm đáp án C số 1 thành số 0 :)
15.
\(2\left(x-2\right)-5\left(y+3\right)+1\left(z+2\right)=0\)
16.
\(\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{n_2}=\left(1;-1;1\right)\)
\(\left[\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right]=\left(0;-2;-2\right)=-2\left(0;1;1\right)\)
Phương trình (P):
\(1\left(y-1\right)+1\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow y+z-2=0\)
17.
\(\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;1\right)\) ; \(\overrightarrow{n_Q}=\left(3;2;-12\right)\)
\(\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(10;15;5\right)=5\left(2;3;1\right)\)
Phương trình mặt phẳng (R):
\(2x+3y+z=0\)
18.
\(\overrightarrow{MN}=\left(0;-2;3\right);\overrightarrow{MP}=\left(-2;1;3\right)\)
\(\left[\overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP}\right]=\left(-9;-6;-4\right)=-1\left(9;6;4\right)\)
Phương trình:
\(9\left(x-2\right)+6\left(y-2\right)+4z=0\)
\(\Leftrightarrow9x+6y+4z-30=0\)
Câu 28:
\(\overrightarrow{CB}=\left(1;-1;1\right)\)
Do (P) vuông góc BC nên nhận (1;-1;1) là 1 vtpt
Phương trình (P):
\(1\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)+1\left(z+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-y+z+5=0\)
Câu 29:
Mạt phẳng (Q) nhận \(\left(1;-2;3\right)\) là 1 vtpt nên nhận các vecto có dạng \(\left(k;-2k;3k\right)\) cũng là các vtpt với \(k\ne0\)
Do đó đáp án B đúng (ko tồn tại k thỏa mãn)
Với đáp án A thì \(k=-2\) , đáp án C thì \(k=3\), đáp án D có \(k=1\)
Ta có \(A\left(4;0;-4\right)\) và \(B\left(1;-1;0\right)\) thuộc d
Gọi phương trình (P): \(ax+by+cz+4d=0\)
Do (P) chứa d \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-4c+4d=0\\a-b+4d=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c-d\\b=a+4d=c+3d\end{matrix}\right.\)
Phương trình (P) viết lại:
\(\left(c-d\right)x+\left(c+3d\right)y+cz+4d=0\)
Do (P) tiếp xúc (S):
\(d\left(I;\left(P\right)\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3\left(c-d\right)-3\left(c+3d\right)+c+4d\right|}{\sqrt{\left(c-d\right)^2+\left(c+3d\right)^2+c^2}}=3\)
\(\Leftrightarrow\left|c-8d\right|=3\sqrt{3c^2+4cd+10d^2}\)
\(\Leftrightarrow26c^2+52cd+26d^2=0\) \(\Rightarrow c=-d\)
Giao của (P) và trục Oz (\(x=0;y=0\)):
\(cz+4d=0\Rightarrow z=-\frac{4d}{c}=4\Rightarrow\left(0;0;4\right)\)
Trắc nghiệm: thay tọa độ B vào 4 đáp án chỉ có duy nhất đáp án A thỏa mãn => chọn A
Tự luận:
\(\overrightarrow{BA}=\left(1;0;1\right)\) , \(M\left(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm AB
Mặt phẳng trung trực AB có pt:
\(1\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+z-2=0\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(0;1;1\right)\) ; \(N\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm BC
Pt mp trung trực của BC:
\(1\left(y-\frac{1}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow y+z-1=0\)
Tâm I của mặt cầu thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+z-2=0\\y+z-1=0\\x+y+z-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;0;1\right)\)
\(\overrightarrow{BI}=\left(0;0;1\right)\Rightarrow R=BI=1\)
Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1\)
Chọn A
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) (giao của 2 mặt cầu đã cho) có phương trình là: 6x + 3y + 2z = 0
Mặt phẳng (P) có phương trình là:
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C. Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA. Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).