NV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
M
0
NV
0
PN
30 tháng 8 2020
Gỉa thiết tương đương với \(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\)
Đặt \(a=x;b=y;c=\frac{1}{z}\)khi đó bài toán quy về
\(ab^2+a^2c+c^2b=3\)Tìm GTLN của \(P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)
Sử dụng BĐT AM-GM ta có :
\(a^4+b^4+b^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4b^4b^4}=4ab^2\)
Bằng cách chứng minh tương tự ta được :
\(b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\); \(c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều ta được :
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=4.3=12\)
\(< =>a^4+b^4+c^4+1\ge\frac{12}{3}=4\)
\(< =>a^4+b^4+c^4\ge4-1=3\)
Vậy \(P\le\frac{1}{3}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1< =>x=y=z=1\)
14 tháng 2 2017
Ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
L
21 tháng 10 2016
\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0+0+0\)
\(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)
Mà \(\left(x+1\right)^2\ge0\)
\(\left(y+1\right)^2\ge0\)
\(\left(z+1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x+1=y+1=z+1=0\)
\(\Rightarrow x=y=z=-1\)
\(\Rightarrow P=1+1+1=3\)
NL
0
TT
0
PN
5 tháng 9 2020
chắc câu này a đăng lên cho vui :vv
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2< =>\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=2^2=4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\left(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\right)+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+4=4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4-4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=0\)
\(< =>\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{zx}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}\right)=0\)
\(< =>\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0< =>\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)
\(< =>x=y=-z\)Thế vào giả thiết ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(< =>\frac{1}{-z}+\frac{1}{-z}+\frac{1}{z}=2< =>\frac{-1}{z}+\frac{-1}{z}+\frac{1}{z}=2\)
\(< =>\frac{-1-1+1}{z}=2< =>2z=-1< =>z=-\frac{1}{2}\)
Suy ra \(x=y=-z=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}< =>\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\\z=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Nên \(P=\left(x+2y+z\right)^{2019}=\left(\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^{2019}=1^{2019}=1\)