Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}\)
\(=3+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\)(1)
Theo BĐT AM-GM: \(\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b^2}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{2}\left[\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c^2}}\)
\(\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{a^2}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thay vào 1 ta sẽ thu được đpcm.
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó, ta dễ dàng có được \(a^n\ge b^n\ge c^n\)và \(\frac{1}{b+c}\ge\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có: \(\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b}\ge\frac{1}{3}\left(a^n+b^n+c^n\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
P/s: Đây là một bước nhỏ trong một cách chứng minh dạng tổng quát của bđt Nesbit
Áp dụng bđt sau : \(\frac{a^n+b^n}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^n}{2}\)ta được
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^n}+\frac{1}{\left(1+b\right)^n}\ge2\left(\frac{\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}}{2}\right)^n\)
Ta đi c/m bđt phụ : Với a,b > 1 thì \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)(1)
Bđt (1) \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)+2}{1+\left(a+b\right)+ab}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)(Quy đồng VT)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)+2+\left(a+b\right)\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}\ge2+2\left(a+b\right)+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)+2\sqrt{ab}\left(1-\sqrt{ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(Luôn đúng vs mọi a;b > 1)
Áp dụng bđt (1) được
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^n}+\frac{1}{\left(1+b\right)^n}\ge2\left(\frac{\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}}{2}\right)^n\ge2\left(\frac{1}{1+\sqrt{ab}}\right)^n=\frac{2}{\left(1+\sqrt{ab}\right)^n}\)
Dấu "=" xảy ra tại a = b
Áp dụng buổi thức đơn ta được
\(\sqrt[a]{b}\)\(a+b:2\)\(>\)ta được
\(\frac{1}{1+A}\)+ \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(\frac{A+B=2}{ }\)
\(\frac{A+B=2}{1+A+B}\)
\(VẬY\)Nếu bạn làm tắt theo mik thì
Mik chưa ra đáp án được vì
\(B\sqrt[A]{B}\)CHỖ B BỊ LỖI
MAGICPENCIL,HÃY LUÔN :-)
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj