Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)
Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN
Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d
Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng
Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:
\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)
Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)
Bài 2:
Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I
\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)
Câu 3:
\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)
Câu 4
\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)
\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)
Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 5:
\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)
Câu 6:
\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)
\(\Rightarrow b=12\)
Câu 7:
\(w=\left(1-i\right)^2z\)
Lấy môđun 2 vế:
\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)
Câu 8:
\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)
\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)
Giả sử z = x + yi, (x,y ε R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.
a) Ta có |z| = 1 ⇔ 
= 1 ⇔ x2 + y2 = 1.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tam O, bán kính bằng 1
b) Ta có |z| ≤ 1 ⇔ ≤ 1 ⇔ x2 + y2 ≤ 1.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm O, bán kính bằng 1 (kể cả các điểm trên đường tròn) (hình b)
c) Ta có 1 < |z| ≤ 2 ⇔ 1 < ≤ 2 ⇔ 1 < x2 + y2 ≤ 4.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần nằm giữa đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 (không kể điểm trên đường tròn này) và đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 (kể cả các điểm trên đường tròn này)
d) Ta có |z| = 1 ⇔ = 1 ⇔ x2 + y2 = 1 và phần ảo của z bằng 1 tức y = 1. Suy ra x = 0 và y = 1
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là điểm A(0;1)
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là các hình sau:
a) Ta có x = 1, y tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng x = 1 (hình a)
b) Ta có y = -2, x tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng y = -2 (hình b)
c) Ta có x ∈ [-1, 2] và y ∈ [0, 1] nên tập hợp các điểm biểu diễn z là hình chữ nhật sọc (hình c)
d) Ta có:
|z|≤2⇔√x2+y2≤2⇔x2+y2≤4|z|≤2⇔x2+y2≤2⇔x2+y2≤4
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là hình tròn tâm O (gốc tọa độ) bán kính bằng 2 (kể cả các điểm trên đường tròn) (hình d)
Giả sử: \(z=x+yi (x;y\in |R)\)
Ta có: \(2(z+1)=3\overline{z}+i(5-i) \)
<=>\(2(x+yi+1)=3(x-yi)+i(5-i)\)
<=>\(2x+2yi+2=3x-3yi+5i-i^2\)
<=>\((3x-2x+1-2)+(5-3y-2y)i=0\)
<=>\((x-1)+(5-5y)i=0\)
<=>\(\begin{align} \begin{cases} x-1&=0\\ 5-5y&=0 \end{cases} \end{align}\)
<=>\(\begin{align} \begin{cases} x&=1\\ y&=1 \end{cases} \end{align}\)
Suy ra: z=1+i =>|z|=\(\sqrt{2}\)
Đặt \(z=a+bi,\left(a,b\in R\right)\), khi đó :
\(2\left(z+1\right)=3\overline{z}+i\left(5-i\right)\Leftrightarrow2\left(a+bi+1\right)=3\left(a-bi\right)+1+5i\Leftrightarrow a-1+5\left(1-b\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left|z\right|=\sqrt{2}\)
\(\left(1-2i\right)z+\frac{1-3i}{1+i}=2-i\Leftrightarrow z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=\sqrt{2}\)
\(f\left(x\right)=\left(\sqrt[3]{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{15}\) \(=\Sigma_{k=0}^{15}C^k_{15}x^{\frac{15-k}{3}}.x^{\frac{-k}{2}}.2^k\)
\(=\Sigma_{k=0}^{15}C^k_{15}.x^{5-\frac{5k}{2}}.2^k\)
\(\left(0\le k\le15,\right)k\in Z\)
Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn : \(5-\frac{5k}{6}=0\Leftrightarrow k=6\) => Hệ số 320320
\(\left|z\right|=1\Rightarrow z=cosx+i.sinx\)
\(z^3-z+2=cos3x+i.sin3x-cosx-i.sinx+2\)
\(=\left(cos3x-cosx+2\right)-i.\left(sin3x-sinx\right)\)
\(=\left(2-2sin2x.sinx\right)-i.2cos2x.sinx\)
\(=2\left[\left(1-sin2x.sinx\right)-i.cos2x.sinx\right]\)
\(\Rightarrow A=\left|z^3-z+2\right|=2\sqrt{\left(1-sin2x.sinx\right)^2+cos^22x.sin^2x}\)
\(A=2\sqrt{1-2sin2x.sinx+sin^22x.sin^2x+cos^22x.sin^2x}\)
\(A=2\sqrt{1-4sin^2x.cosx+sin^2x}\)
\(A=2\sqrt{1-4\left(1-cos^2x\right)cosx+1-cos^2x}\)
\(A=2\sqrt{4cos^3x-cos^2x-4cosx+2}\)
\(A_{max}\) khi \(4cos^3x-cos^2x-4cosx+2\) đạt max
Xét hàm \(f\left(t\right)=4t^3-t^2-4t+2\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(f'\left(t\right)=12t^2-2t-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-\frac{1}{2}\\t=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đạt max tại \(t=-\frac{1}{2}\) hay \(A_{max}\) khi \(a=cosx=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=sin^2x=1-cos^2x=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow P=2a+4b^2=-1+3=2\)
Đáp án D
Đặt
Khi đó
Xét hàm số
Khi đó