Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 -6mx + 3(2m-1) = 3(x2 – 2mx + 2m – 1)
Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ x2 – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = m2 – 2m + 1 = (m-1)2 ≤ 0 ⇔ m =1
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ (m-1)2 > 0 ⇔ m≠1
c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x
⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0
- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị
- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\)
hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)
Đáp số : \(m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}};m=-\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)
Ta có : \(y'=-x^2+2mx+m-2\Rightarrow\Delta'=m^2+m-2\)
Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 <=> phương trình y' =0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) và thỏa mãn :
\(\left|x_1-x_2\right|=4\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0\\\left|x_1-x_2\right|=4\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=16\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\4m^2+4\left(m-2\right)=16\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2\) hoặc \(m=-3\)
Kết luận \(m=2\) hoặc \(m=-3\) thì hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4
Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right);y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)
Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt là \(x=0;x=\pm\sqrt{m}\) suy ra đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị là \(A\left(0;m^2-m\right);B\left(-\sqrt{m};-m\right);\overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right);\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m;}-m^2\right)\)
Do đó \(AB=AC=\sqrt{m^4+m}\) nên yêu cầu bài toán được thỏa mãn
\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=120^0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=120^0\)\(\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(m\right)+m^4}{m+m^4}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow2m^4-2m=-m-m^4\)
\(\Leftrightarrow3m^4-m=0\Leftrightarrow m\left(3m^3-1\right)=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Kết hợp với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Xét
\(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2=m-1\end{cases}}\)
TH1:
\(m-1\le0\) thì hàm số đồng biến trên R
TH2: \(m-1>0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{m-1}\\x=-\sqrt{m-1}\end{cases}}\)
Khi đó khoảng đồng biến của hàm số là \(\left(-\infty,-\sqrt{m-1}\right)\text{ và }\left(0,\sqrt{m-1}\right)\)
Muốn hàm số đồng biến trên (1,3) thì \(\left(1,3\right)\subset\left(0,\sqrt{m-1}\right)\Leftrightarrow3\le\sqrt{m-1}\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(\orbr{\begin{cases}m\le1\\m\ge10\end{cases}}\)
Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)
Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :
\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)
Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Do \(f'\left(x\right)=x^2-2mx-1=0\)
Có \(\Delta'=m^2+1>0\) nên\(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) với các điểm \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :
\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-m\right)f'\left(x\right)-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
Do \(f'\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=0\) nên
\(y_1=f\left(x_1\right)=-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x_1+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
\(y_2=f\left(x_2\right)=-\frac{2}{3}\left(m^2+1\right)x_2+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
Ta có \(AB^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\left(x_2-x_1\right)^2\)
\(=\left[\left(x_2-x_1\right)^2-4x_2x_1\right]\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\)
\(=\left(4m^2+4\right)\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\ge4\left(1+\frac{4}{9}\right)\)
\(\Rightarrow AB\ge\frac{2\sqrt{13}}{3}\)
Vậy Min \(AB=\frac{2\sqrt{13}}{3}\) xảy ra <=> m=0
Chọn A