Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(P=\frac{\sqrt{4\left(a+3\right)}+\sqrt{4\left(b+3\right)}+\sqrt{4\left(c+3\right)}}{2}\le\frac{a+b+c+21}{4}\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt \(A=\dfrac{\left(1^4+\dfrac{1}{4}\right)\left(3^4+\dfrac{1}{4}\right)...\left(19^4+\dfrac{1}{4}\right)}{\left(2^4+\dfrac{1}{4}\right)\left(4^4+\dfrac{1}{4}\right)...\left(20^4+\dfrac{1}{4}\right)}\)
\(=\dfrac{\left[\left(1^4+\dfrac{1}{4}\right).2^4\right]\left[\left(3^4+\dfrac{1}{4}\right).2^4\right]...\left[\left(19^4+\dfrac{1}{4}\right).2^4\right]}{\left[\left(2^4+\dfrac{1}{4}\right).2^4\right]\left[\left(4^4+\dfrac{1}{4}\right).2^4\right]...\left[\left(20^4+\dfrac{1}{4}\right).2^4\right]}\)
\(=\dfrac{\left(2^4+4\right)\left(6^4+4\right)...\left(38^4+4\right)}{\left(4^4+4\right)\left(8^4+4\right)...\left(40^4+4\right)}\)
Lưu ý: \(a^4+4=\left(a^4+4a^2+4\right)-4a^2=\left(a^2+2\right)^2-\left(2a\right)^2\)
\(=\left(a^2-2a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)\)
Áp dụng vào biểu thức A, ta có:
\(A=\dfrac{\left(2^4+4\right)\left(6^4+4\right)...\left(38^4+4\right)}{\left(4^4+4\right)\left(8^4+4\right)...\left(40^4+4\right)}\)
\(=\dfrac{\left(2^2-2.2+2\right)\left(2^2+2.2+2\right)...\left(38^2-38.2+2\right)\left(38^2+38.2+2\right)}{\left(4^2-2.4+2\right)\left(4^2+2.4+2\right)...\left(40^2-2.40+2\right)\left(40^2+2.40+2\right)}\)
\(=\dfrac{2.10.26..1370.1522}{10.26.50...1522.1682}=\dfrac{2}{1682}=\dfrac{1}{841}\)
Vậy \(A=\dfrac{1}{841}\)
Áp dụng BĐT AM-GM
\(\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(b+c\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(c+a\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\Rightarrow S.\sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{2}{3}.6}{3}=\frac{2.1+4}{3}=2\)
\(\Leftrightarrow S\le2:\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\frac{2.\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\\a+b=b+c=c+a=\frac{2}{3}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)
Vậy...
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{a+b}=\frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\left(a+b\right)}}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\le\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+a+b}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\)
Tương tự cộng lại suy ra
\(S\le\frac{6.\frac{2}{3}+2\left(a+b+c\right)}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\frac{6}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\sqrt[3]{18}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
B = 5x - x2
B = -x2 + 5x
-B = x2 - 5x
-4B = 4x2 - 20x
-4B = (2x-5)2 -25
B = -(2x-5)2 / 4 + 6,25
GTLN của B = 6,25 <=> 2x-5 = 0 => x = 5/2
A = 2x2 + 10x - 1
2A = 4x2 + 20x - 2
2A = (2x+5)2 - 27
A = (2x+5)2 / 2 - 13,5
GTNN của A là -13,5 <=> 2x+5 = 0 => x = -5/2
\(x^3+x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)=0\)
thấy :x2+1>0 loại
suy ra x=0
a, Xét tam giác BEC và tam giác AEK có:
EB=EK (gt)
góc BEC=góc AEK (đối đỉnh)
EA=EC (gt)
Do đó: tam giác BEC=tam giác AEK (c.g.c)
Suy ra: BC=AK (2 cạnh tương ứng)
b, Xét tam giác ABC cân tại A có AM là đường phân giác tại đỉnh A nên AM đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Vậy AM vuông góc với BC (1) và M là trung điểm của BC
Tam giác BEC=Tam giác AEK (cmt) suy ra:góc BCE=góc AKE
Do đó: AK song song với BC. (2) (vì có 2 góc so le trong bằng nhau)
Từ (1) và (2) thì AM vuông góc với AK
c, M là trung điểm của BC(gt) nên MB=MC= 1/2 BC= 1/2 .12 =6(cm)
AM vuông góc với BC(cmt) suy ra: tam giác AMB vuông tại M
Do đó: AM^2 +BM^2 =AB^2
AM^2 + 6^2 =10^2 (vì BM= 6cm,AB=10cm)
AM^2 + 36=100
AM^2 =64
AM=8 (cm)
Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến AM và BE cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy OM =1/3 AM =1/3 .8 =8/3 (cm)
MIB cân tại M vì góc MIB= góc MBI
Nên MB=MI=12cm
=> MI//AC, ta có:
AMAB=IMBC=1230=35AMAB=IMBC=1230=35
⇒AB−12AB=35⇒AB=30(cm)⇒AB−12AB=35⇒AB=30(cm)
BD là phân giác ngoài của góc ABC, ta có:
ADCD=ABBC=3020=32ADCD=ABBC=3020=32
Do đó BC // DN, ta lại có:
ANBN=ADCN=32ANBN=ADCN=32
⇒ABBN=12;30BN=12⇒ABBN=12;30BN=12
Do đó BN=60(cm). Từ đó ta có: MN=72(cm)
b) Ta có EF//AB nên:
IAIC=ABEC(1)IAIC=ABEC(1)vàADCD=ABCF(2)ADCD=ABCF(2)
Do đó BI và BD là phân giác trong và ngoài của góc B trong tam giác ABC, ta có: IAIC=DADC(3)IAIC=DADC(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: ABEC=ABCFABEC=ABCFdo đó EC=EF
Từ IAIC=BIIE⇒AI.IE=BI.IC
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{a\left(b+2c\right)}=\frac{\sqrt[3]{3.3a.\left(b+2c\right)}}{\sqrt[3]{9}}\le\frac{3+3a+b+2c}{3.\sqrt[3]{9}}\)
Tương tự:
\(\sqrt[3]{b\left(c+2a\right)}\le\frac{3+3b+c+2a}{3\sqrt[3]{9}}\)
\(\sqrt[3]{c\left(a+2b\right)}\le\frac{3+3c+a+2b}{3\sqrt[3]{9}}\)
Cộng lại ta có:
\(S\le\frac{9+6\left(a+b+c\right)}{3\sqrt[3]{9}}=\frac{27}{3\sqrt[3]{9}}=3.\sqrt[3]{3}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Ta có
\(\left(1+\sqrt{15}\right)^2=16+2\sqrt{15}< 16+2\sqrt{16}=16+8=24\)
Ta lại có \(\sqrt{24}^2=24\)
Vậy \(1+\sqrt{15}< \sqrt{24}\)
Bài làm
Ta có: ( 1 + V15 )2 = 1 + 15 + 2 V15 = 16 + 2V15
V24 2 = 24 = 16 + 8
Vì V152 = 15 < 16 = 42
Nên V15 < 4
=> 2V15 < 8
=> 16 + 2V15 < 24
=> ( 1 + V15 )2 < V24 2
Vậy 1 + V15 < V24
# Chúc bạn học tốt #