TN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
23 tháng 5 2018
Với mọi n nguyên dương ta có:
\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với k nguyên dương thì
\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)
Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)
...
\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)
Cộng tất cả lại
\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)
3.
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)
Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
VT
1 tháng 3 2018
Ta có A=\(\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}\)
Áp dụng BĐt bu-nhi-a, ta có
\(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}\le\sqrt{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\frac{x+y+z}{\frac{1}{3}}}=\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{9}=3\)
=> A>=3 (ĐPCM)
Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1
^^
12 tháng 9 2020
a)\(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\frac{\sqrt{6}}{3}-4\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(=\sqrt{6}\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{4}{2}\right)=\sqrt{6}.\frac{1}{6}\)
b) \(\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}=\left(x.\frac{\sqrt{6x}}{x}+\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\)
\(=1+\frac{1}{3}+1=2\frac{1}{3}\)
8 tháng 11 2016
a/ Đk: x\(\ge\)0
Khi đó ta có:
P =\(\frac{15\sqrt{x}-11}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)
=\(\frac{15\sqrt{x}-11+\left(2-3\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
=\(\frac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
=\(\frac{\left(-5x+5\sqrt{x}\right)+\left(2\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
=\(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(5\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
=\(\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}\)
b/ Với x\(\ge\)0
Để P=\(\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{2\left(5\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}-3}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}=0\)
\(\Rightarrow\)\(10\sqrt{x}-4-\sqrt{x}-3=0\)
\(\Rightarrow\)\(9\sqrt{x}=7\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x}=\frac{7}{9}\)
\(\Rightarrow\)\(x=\frac{49}{81}\) (thỏa mãn đk)
Vậy .....
7 tháng 11 2016
a/ p=\(\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}\)
b/ x=\(\frac{49}{81}\)
điều kiện \(x\ge0;P\ge0\)
Để chứng minh \(p>\sqrt{P}\)luôn đúng ta cần chứng minh P>1 luôn đúng.
Giả sử P>1 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}>1\)\(\Leftrightarrow\)\(x+16>\sqrt{x}+3\)\(\Leftrightarrow\)\(x-\sqrt{x}+13>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+\sqrt{x}+\frac{1}{4}+12,75>0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+12,75>0\)luôn luôn đúng
như vậy P luôn luôn >1 là đúng\(\Leftrightarrow\)\(p>\sqrt{P}\)luôn đúng (đpcm)