Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ pt ta có: \(-\left(1+x^4\right)=\text{ax}^3+bx^2+cx\)
Áp dụng BĐT B.C.S:
\(\left(1+x^4\right)^2=\left(\text{ax}^3+bx^2+cx\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^6+x^4+x^2\right)\)\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\ge\frac{4}{3}\left(2\right)\)
Thật vậy: \(\left(2\right)\Leftrightarrow3\left(1+2x^4+x^8\right)\ge4\left(x^6+x^4+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\left(3x^4+2x^2+3\right)\ge0\)(luôn đúng)
Từ 1 và 2 : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{3}\left(x=1\right)\\a=b=c=\frac{-2}{3}\left(x=-1\right)\end{cases}}\)
a/ \(x^2-2x-3=-m\)
Đặt \(f\left(x\right)=x^2-2x-3\)
\(-\frac{b}{2a}=1\) ; \(f\left(1\right)=-4\) ; \(f\left(-1\right)=0\) ; \(f\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow\) Để pt có nghiệm trên khoảng đã cho thì \(-4\le-m\le0\Rightarrow0\le m\le4\)
b/ \(-x^2+2mx-m+1=0\)
\(\Delta'=m^2+m-1\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\m\ge\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Để pt có 2 nghiệm đều âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m< 0\\x_1x_2=m-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
Vậy pt luôn có ít nhất 1 nghiệm \(x\ge0\) với \(\left[{}\begin{matrix}m\le\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\m\ge\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
c/ \(f\left(x\right)=2x^2-x-1=m\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=2x^2-x-1\) trên \(\left[-2;1\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}\) ; \(f\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{9}{8}\) ; \(f\left(-2\right)=9\); \(f\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow\) Để pt có 2 nghiệm pb thuộc đoạn đã cho thì \(-\frac{9}{8}< m\le0\)
d/ \(f\left(x\right)=x^2-2x+1=m\)
Xét \(f\left(x\right)\) trên \((0;2]\)
\(-\frac{b}{2a}=1\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(0\right)=1\); \(f\left(2\right)=1\)
Để pt có nghiệm duy nhất trên khoảng đã cho \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)
e/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge-3\\x\le-4\end{matrix}\right.\\x\ge m\end{matrix}\right.\)
\(x^2+4x+3=x-m\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2+3x+3=-m\)
Xét hàm \(f\left(x\right)\)
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\) ; \(f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{4}\); \(f\left(-3\right)=3\); \(f\left(-4\right)=7\)
Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(x\notin\left(-4;-3\right)\) thì \(\left[{}\begin{matrix}\frac{3}{4}< m\le3\\m\ge7\end{matrix}\right.\) (1)
Mặt khác \(x^2+3x+m+3=0\)
Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(m\le x_1< x_2\) thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(m\right)\ge0\\x_1+x_2>2m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+3\ge0\\2m< -3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-3\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ko tồn tại m thỏa mãn
\(P=\frac{1}{4a+2b+3}+\frac{1}{4b+\frac{2}{c}+3}+\frac{1}{2a+\frac{4}{c}+3}\)
Đặt \(\left(2a;2b;\frac{2}{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow x^2y^2z^2=\frac{8ab}{c}=1\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\frac{1}{2x^2+y^2+3}+\frac{1}{2y^2+z^2+3}+\frac{1}{2z^2+x^2+3}\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+x^2+1+2}+\frac{1}{y^2+z^2+y^2+1+2}+\frac{1}{z^2+x^2+z^2+1+2}\)
\(P\le\frac{1}{2xy+2x+2}+\frac{1}{2yz+2y+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\frac{1}{2}\Rightarrow S=4\)
\(\sqrt{x^2+4x+3m+1}=x+3\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+3m+1=\left(x+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+3m+1=x^2+6x+9\)
\(\Leftrightarrow2x=3m-8\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3m-8}{2}\)
Với x=\(\frac{3m-8}{2}\Rightarrow\left(\frac{3m-8}{2}\right)^2+4\cdot\frac{3m-8}{2}+3m+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{9m^2-48m+64}{4}+6m-16+3m+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow9m^2-12m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> \(3m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a=2;b=3\)
\(\Rightarrow4a^2+3b^2+7=4\cdot2^2+3\cdot3^2+7=50\)