Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\begin{cases}3xy\left(1+\sqrt{9y^2+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\left(1\right)\\x^3\left(9y^2+1\right)+4\left(x^2+1\right)\sqrt{x}=10\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện \(x\ge0\)
Nếu x=0, hệ phương trình không tồn tại
Vậy xét x>0
\(\Leftrightarrow3y+3y\sqrt{9y^2+1}=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x}\)
\(\Leftrightarrow3y+3y\sqrt{\left(3y\right)^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+1}\) (3)
Từ (1) và x>0 ta có y>0. Xét hàm số \(f\left(t\right)=t+t.\sqrt{t^2+1},t>0\)
Ta có \(f'\left(t\right)=1+\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}>0\). Suy ra \(f\left(t\right)\) luôn đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
Phương trình (3) \(\Leftrightarrow f\left(3y\right)=f\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\Leftrightarrow3y=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
Thế vào phương trình (2) ta được : \(x^3+x^2+4\left(x^2+1\right)\sqrt{x}=10\)
Đặt \(g\left(x\right)=x^3+x^2+4\left(x^2+1\right)\sqrt{x}-10,x>0\)
Ta có \(g'\left(x\right)>0\) với \(x>0\) \(\Rightarrow g\left(x\right)\) là hàm số đồng biến trên khoảng (\(0;+\infty\))
Ta có g(1)=0
vậy phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Với x=1 => \(y=\frac{1}{3}\)
Vậy kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất (\(1;\frac{1}{3}\))
Điều kiện : \(x\ge1\)
\(3\left(x^2-2\right)+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}>\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}+3\sqrt{x^2-1}\right)\) \(\Leftrightarrow6\left(x^2-2\right)+\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}-2\sqrt{x^2-x}-6\sqrt{x}\sqrt{x^2-1}>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{x^2-x}-1\right)^2+2\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x}+1}+x^2-x-5\right)>0\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{t+1}}+t-5,\left(t\ge0\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=1-\frac{2\sqrt{2}}{\left(t+1\right)\sqrt{t+1}}\)
\(f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t=1\)
Bảng xét dấu :
| x | 0 1 +\(\infty\) |
| f'(x) | / - 0 + |
Suy ra \(f\left(t\right)\ge f\left(1\right)\), với mọi \(t\in\left[0;+\infty\right]\)\(\Rightarrow\) \(f\left(t\right)\ge0\), với mọi \(t\in\left[0;+\infty\right]\). Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow t=1\)
Do \(x^2-x\ge0\) với mọi \(x\in\left[0;+\infty\right]\)\(\Rightarrow\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}+x^2-x-5\ge0\) với mọi \(x\in\left[0;+\infty\right]\), dấu = xảy ra khi \(x^2-x=1\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Khi đó \(3\left(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)^2+2\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-1}+1}+x^2-x-5\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\ne0\\\sqrt{x^2-x}-1\ne0\\\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}+x^2-x-5\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x\ne\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
\(S=\left(1;+\infty\right)\backslash\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\)
ĐK: 2x2−3x−4≥0,x≥12x2−3x−4≥0,x≥1
PT⇔x2+x−1+2√x(x−1)(x+1)=2x2−3x−4⇔x2+x−1+2x(x−1)(x+1)=2x2−3x−4
⇔x2−4x−3=2√(x2−x)(x+1)⇔x2−4x−3=2(x2−x)(x+1)
⇔(x2−x)−3(x+1)=2√(x2−x)(x+1)⇔(x2−x)−3(x+1)=2(x2−x)(x+1)
Đặt √x2−x=a≥0,√x+1=b>0x2−x=a≥0,x+1=b>0
Khi đó ta có: a2−3b2=2aba2−3b2=2ab
⇒(ab)2−2.ab−3=0⇒(ab)2−2.ab−3=0
⇔ab=3⇔ab=3 hoặc ab=−1ab=−1(loại vì a,b>0a,b>0)
ab=3⇒√x2−x=3√x+1
lời giải
a)
\(\left(x+1\right)\left(2x-1\right)+x\le2x^2+3\)
\(\Leftrightarrow2x^2+x-1+x\le2x^2+3\)
\(\Leftrightarrow2x\le4\Rightarrow x\le2\)
\(\)b) \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)-x>x^3+6x^2-5\)
\(\left(x^2+3x+2\right)\left(x+3\right)-x>x^3+6x^2-5\)
\(x^3+3x^2+3x^2+9x+2x+6-x>x^3+6x^2-5\)
\(10x+6>-5\Rightarrow x>-\dfrac{11}{10}\)
c)Đkxđ: x≥0
x+√x>(2√x+3)(√x−1)
⇔x+√x>2x+√x−3
⇔x−3>0
⇔x>3. (tmđk).
Lời giải
a) \(\sqrt{\left(x-4\right)^2\left(x+1\right)}>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne4\\x+1>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne4\\x>-1\end{matrix}\right.\)
b) \(\sqrt{\left(x+2\right)^2\left(x-3\right)}>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-2\\x-3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x>3\)
Vì \(\left(2+\sqrt{2}\right)^x.2^x\left(2-\sqrt{2}\right)^x=4^x\)
nên ta đặt \(a=\left(2+\sqrt{2}\right)^x>0;b=2^x\left(2-\sqrt{2}\right)^x>0\Rightarrow a.b=4^x\)
Phương trình trở thành \(a+b=1+ab\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=1\\b=1\end{array}\right.\)
Suy ra \(\left[\begin{array}{nghiempt}\left(2+\sqrt{2}\right)^x=1\\2^x\left(2-\sqrt{2}\right)^x=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow x=0\)
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x=0\)