Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt a=\(\sqrt{x^2+1}\)
=>a2=x2+1
Ta có hpt: \(\begin{cases}\left(1+xa\right)\left(a-x\right)=1\\a^2=x^2+1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a-x+xa^2-x^2a=1\\a^2-x^2=1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a-x+xa^2-ax^2=1\\a^2-x^2=1\end{cases}\)
=>a-x+xa2-ax2=a2-x2
<=>(a-x)(1+xa-a-x)=0
<=>(a-x)(1-a)(1-x)=0
<=>*a=x *a=1 *x=1
<=>x2+1=x <=>\(\sqrt{x^2+1}\)=1
<=>x2-x+1=0(vô lí) <=>x2+1=1
<=>x2=0
<=>x=0
Vậy S={0;1}
\(1+x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\)
\(1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\) (nhân tử và mẫu vế phải với biểu thức liên hợp của mẫu số)
\(\sqrt{x^2-1}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\)
\(\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)
\(x=1\) hoặc \(\sqrt{x^2+1}=1\)
x=1 hoặc x =0
Điều kiện: \(x\ge\sqrt[3]{2}\)
Ta có:
\(\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{x^2-1}-2\right)+\left(x-3\right)=\sqrt{x^3-2}-5\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-9}{\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+\left(x-3\right)=\frac{x^3-27}{\sqrt{x^3-2}+5}\)
\(\Leftrightarrow x=3\) (thỏa mãn điều kiện)
Hoặc:
\(\frac{x+3}{\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+1-\frac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}=0\) (vô nghiệm với mọi \(x\ge\sqrt[3]{2}\)
Vậy \(S=\left\{3\right\}\)
Viết nhầm biến thôi :v. Sửa''ss
\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}+\dfrac{x+y}{2}\ge x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)
Ta có: \(VT\ge\dfrac{4xy}{4}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}=\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xy}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{2}.\dfrac{x}{2}}+2\sqrt{\dfrac{xy}{2}.\dfrac{y}{2}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=1\\x=y=0\end{matrix}\right.\)