GN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TC
0
20 tháng 3 2018
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
20 tháng 3 2018
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
M3
1
PA
4 tháng 9 2016
giả sử: a4 + b4+c4+1 > 2a( ab2-a+c+1)
<=> a^4-2(ab)^2 + b^4 + a^2-2ac+c^2 + a^2-2a+1>0 ( bạn chuyển vế rùi tách ra như mình nha)
<=> (a^2-b^2)^2 + (a-c)^2 + (a-1)^2 >0 (1)
nhận thấy (a^2-b^2)^2>=0
(a-c)^2>=0
(a-1)^2 >= 0
=> (1) luôn đúng
29 tháng 9 2020
Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\ge ab.bc+bc.ca+ca.ab=abc\left(a+b+c\right)\).
Vậy ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2019
a)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)
\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)
\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)
b)
Xét hiệu
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)
\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2019
c)
Xét hiệu:
\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)
\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)
\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
d)
Xét hiệu:
\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)
\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)
\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
LH
1
14 tháng 4 2019
a)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b=1\)
b) \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b\)
Chứng minh bđt phụ :
Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)với \(\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(*)
Áp dụng bđt (*), ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(1)
Lại có :\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abbc+bcca+caab=abc\left(a+b+c\right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Vậy \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Phần dấu = xảy ra không biết bạn có cần không nhưng thầy mình bảo phải ghi vào mới được điểm tối đa