Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad< bc\)
\(\Rightarrow ab+ad< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)( 1 )
Lại có : ad < bc
\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Bài 2 : Theo ví dụ trên ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=> ad < bc
Suy ra :
\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ba\Leftrightarrow a(b+d)< b(a+c)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Mặt khác : ad < bc => ad + cd < bc + cd
\(\Leftrightarrow d(a+c)< (b+d)c\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vậy : ....
b, Theo câu a ta lần lượt có :
\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)
Vậy : \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
1.
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ad+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
2.
Ta có: a(b + n) = ab + an (1)
b(a + n) = ab + bn (2)
Trường hợp 1: nếu a < b mà n > 0 thì an < bn (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{n}< \frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 2: nếu a > b mà n > 0 thì an > bn (4)
Từ (1),(2),(4) suy ra a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)
Gọi biểu thức cần so sánh là A
Nếu a< b thì \(\frac{a}{b+m}< \frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)
=> \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)
=> cộng các vế trái với nhau, vế giữa với nhau, vế phải với nhau, dâu < giữ nguyên, trong đó vế trái cộng lại rút gọn được 1, vế giữa là A, vế phải cộng lại rút gọn được 2, ra điều phải cm
Vì \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) nên ad < bc (1)
Xét tích a(b + d) = ab + ad (2)
b ( a + c ) = ba + bc (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra a(b+d) < b(a+c) do đó \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) (4)
Tương tự ta có \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\) (5)
kết hợp (4) ; (5) ta được \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\)
vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>ad< bc\)
=>ad+ab<bc+ab
=>a(b+d)<b(a+c)
=>\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>ad< bc\)
=>ad+cd<bc+cd
=>a(a+c)<c(b+d)
=>\(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)
từ (1)(2)=>\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
chúc bạn học tốt
a, Theo đề bài ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\) \((1)\)
Thêm ab vào hai vế của 1 : \(ad+ab< bc+ab\)
\(a(b+d)< b(a+c)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) \((2)\)
Thêm cd vào hai vế của 1 : \(ad+cd< bc+cd\)
\(d(a+c)< c(b+d)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) \((3)\)
Từ 2 và 3 suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
b, Theo câu a ta lần lượt có :
\(\frac{-1}{3}< \frac{-1}{4}\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)
\(\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{3}{10}< \frac{-2}{7}\)
\(\frac{-1}{3}< \frac{-3}{10}\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{-4}{13}< \frac{-3}{10}\)
Vậy : \(\frac{-1}{3}< \frac{-4}{13}< \frac{-3}{10}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)
a. ta có a\b < c\d nên
ad < bc
ad+ab < bc+ba
a( d+b) < b( c+a)
a\b < a+c\b+d (1)
ad<bc
ad +cd < bc+cd
d (a+c) < c(b+d)
a+c\b+d< c\d (2)
Từ 1 và 2 suy ra a\b < a+c\b+d < c\d
b. ta có -1\3 < -1\4
nên -1\3 < -2\7 < -3\11 < -4\15 < -1\4
c. Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên là đúng
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
+) \(ad+ab< bc+ab\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)( 1 )
+) \(ad+cd< bc+cd\Leftrightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\)
Vì \(b,d>0\Rightarrow bd>0\)
\(\Rightarrow ad< bc\)
Ta lại có:
\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}\)
\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)
Vì \(b,d>0\)
Nên \(b\left(b+d\right)>0\)và \(d\left(b+d\right)>0\) \(\left(1\right)\)
Mà \(ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ab+bc\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)ta có: \(\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}>\frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(\cdot\right)\)
Ta lại có:
\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{d\left(a+c\right)}{d\left(b+d\right)}=\frac{ad+cd}{d\left(b+d\right)}\)
\(\frac{c}{d}=\frac{c\left(b+d\right)}{d\left(b+d\right)}=\frac{bc+cd}{d\left(b+d\right)}\)
Mà \(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(3\right)\)ta có:
\(\frac{ad+cd}{d\left(b+d\right)}< \frac{bc+cd}{d\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(\cdot\cdot\right)\)
Từ \(\left(\cdot\right)\)và \(\left(\cdot\cdot\right)\)ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Mk làm như thê snayf mà ko bít đúng ko? các bn cho ý kiến nha!
TA có:
a < b => a + a < a + b < b + b
Hay 2.a <a+b<2b
Vậy: a/m < a+b/2m < b/m
\(a,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}=>ad< bc\left(đpcm\right)\)
\(b,ad< bc=>\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}=>\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\left(đpcm\right)\)