Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Vì ΔDEF vuông tại D⇒ \(\widehat{FDE}=90^0\)
hay \(\widehat{ADB}=90^0\)
Vì DK là đường cao của ΔDEF
⇒ DK ⊥ EF
⇒ \(\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90^0\)
Vì KA ⊥ DE ⇒ \(\widehat{DAK}=\widehat{A_1}=90^0\)
Vì KB ⊥ DF ⇒ \(\widehat{DBK}=\widehat{B_1}=90^0\)
Tứ giác ADBK có\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADB}=90^0\\\widehat{DAK}=90^0\\\widehat{DBK}=90^0\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác ADBK là hình chữ nhật
⇒ AB = DK (hai đường chéo trong hình chữ nhật)(đpcm)
b, Vì C đối xứng với D qua I
⇒ I là trung điểm của CD
Tứ giác DFCK có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{I là trung điểm của FK}\\\text{I là trung điểm của CD}\\\text{Đường chéo FK và CD}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác DFCK là hình bình hành
⇒ DF // CK (đpcm)
c,
Vì tứ giác ADBK là hình chữ nhật
⇒ AK // BD
⇒ AK // DF
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{DF // CK }\\\text{AK // DF}\end{matrix}\right.\)
⇒ A, K, C thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
Vì DF // CK
⇒ BF // AC
⇒ Tứ giác BFAC là hình thang (1)
Kẻ thêm: Từ F kẻ FN ⊥ AC
⇒ \(\widehat{CNF}=\widehat{KNF}=90^0\)
Vì tứ giác ADBK là hình chữ nhật
⇒ \(\widehat{AKB}=90^0\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{FN ⊥ AC}\\\text{BF // AC}\end{matrix}\right.\)⇒ BF ⊥ FN
⇒ \(\widehat{BFN}=90^0\)
Tứ giác BFNK có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFN}=90^0\\\widehat{B_1}=90^0\\\widehat{KNF}=90^0\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác BFNK là hình chữ nhật
⇒ FN = BK (2 đường chéo)
Vì tứ giác DFCK là hình bình hành
⇒ CF = DK
mà AB = CK
⇒ AB = CF
ΔABK và ΔCFN có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = CF}\\\widehat{CNF}=\widehat{AKB}=90^0\\\text{FN = BK}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔABK ~ ΔCFN (ch.cgv)
⇒ \(\widehat{A_2}=\widehat{ACF}\) (2)
Từ (1), (2) ⇒ Tứ giác BFCA là hình thang cân (đpcm)
d, Ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Tứ giác ADBK là hình chữ nhật}\\\text{Đường chéo AB và DK}\\\text{AB cắt DK tại O}\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{O là trung điểm của AB }\\\text{O là trung điểm của DK }\end{matrix}\right.\)
Vì I là trung điểm của FK
⇒ DI là đường trung tuyến của ΔCDK
Vì O là trung điểm của DK
⇒ FO là đường trung tuyến của ΔCDK
ΔCDK có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{DI là đường trung tuyến của ΔCDK}\\\text{FO là đường trung tuyến của ΔCDK}\\\text{DI cắt FO tại H}\end{matrix}\right.\)
⇒ H là trọng tâm của ΔCDK
⇒ DH = \(\frac{2}{3}\)DI (Trọng tâm của tam giác cách đều mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó) (3)
Vì I là trung điểm của CD
⇒ DI = \(\frac{1}{2}\)CD (4)
Thay (4) vào (3), ta có
DH = \(\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\)CD
⇒ DH = \(\frac{1}{3}\)CD
⇒ CD = 3DH (đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!
D E F I K O
a) Xét \(\Delta vuôngKEDva\Delta vuôngDEF\) có:
\(\widehat{E:}chung\)
\(\Rightarrow\Delta KED\) đồng dạng \(\Delta DEF\)
b) Vì \(\Delta KED\) đồng dạng \(\Delta DEF\) (1)
\(\Rightarrow\frac{KE}{DE}=\frac{DE}{EF}\Rightarrow DE.DE=KE.EF\Rightarrow DE^2=KE.EF\)
b2) Xét \(\Delta VuôngKFD\) và \(\Delta vuôngDEF\)có :
\(\widehat{F:}chung\)
\(\Rightarrow\Delta KFD\) đồng dạng \(\Delta DEF\) (2)
từ (1) và (2) suy ra \(\Delta KED\) đồng dạng \(\Delta KFD\)
\(\Rightarrow\frac{EK}{DK}=\frac{DK}{KF}\Rightarrow DK.DK=KE.KF\Rightarrow DK^2=KE.KF\)
b3) xin lỗi mình chưa bt cách làm
c) \(\Delta DEF\) là tam giác vuông nên:
\(EF^2=DE^2.DF^2\)
\(EF=\sqrt{DE^2.DF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)
Vì EI là đường phân giác của\(\Delta DEF\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{DI}{DE}=\frac{IF}{EF}\Rightarrow DI=\frac{DE.IF}{EF}=\frac{3.4}{5}=2,4\left(cm\right)\)
DF=ID+IF\(\Rightarrow IF=DF-DI=4-2,4=1,6\left(cm\right)\)
Vì \(\Delta KED\) đồng dạng \(\Delta DEF\) nên:
\(\frac{DK}{DF}=\frac{DE}{EF}\Rightarrow DK=\frac{DF.DE}{EF}=\frac{4.3}{5}=2,4\left(cm\right)\)
d) Ta có \(DE^2=KE.EF\)
suy ra \(\frac{DE}{KE}=\frac{EF}{DE}\) (4)
Mà \(\frac{DE}{KE}=\frac{OK}{OD}\)( EO là đường phân giác của \(\Delta KED\)) (5)
Lại có \(\frac{EF}{DE}=\frac{IF}{DI}Hay\frac{DE}{EF}=\frac{DI}{IF}\)( EI là đường phân giác của \(\Delta DEF\)) (6)
Từ (4),(5),(6) suy ra \(\frac{DI}{IF}=\frac{OK}{OD}\)