Câu hỏi của Nguyễn Quỳnh Chi

Question

Cho x,y,z thỏa mãn : xy+yz+xz=1. Tìm GTNN của A= x^4+y^4+z^4

Đặng Tiến · Accepted Answer

Ta có đẳng thức:

$a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}$

$A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow Min_A=\frac{1}{3}$khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

hoặc bạn áp dụng hệ thức holder á

Câu trả lời:

Ta có đẳng thức:

$a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}$

$A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow Min_A=\frac{1}{3}$khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

hoặc bạn áp dụng hệ thức holder á

Đặng Tiến · Answer

Ta có:

$x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

Mặt khác:

$\left(xy+yz+zx\right)^2=1\le3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)$

$\Rightarrow\frac{1}{3}\le\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)$

hay $x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}$

Vậy $Min_A=\frac{1}{3}$khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$