Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(8\ge x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge4\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=2
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(A\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{4}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=2
Hình như anh kudo shinichi ngược dấu một xíu thì phải ạ: \(8\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\left(x+y\right)\le4\) chứ ạ?Dẫn đến
khúc sau ngược dấu.Nếu em sai thì xin thông ảm cho ạ. Lời giải của em đây:
\(A\ge\frac{4}{x+y}=\frac{16}{4x+4y}\ge\frac{16}{x^2+4+y^2+4}\) (BĐT Cô si hay AM-GM gì đó: \(x^2+4\ge2\sqrt{x^2.4}=2.2.x=4x;...\))
\(=\frac{16}{8+8}=1\).Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2.
Vậy min A = 1 khi x =y = 2
\(1>=\left(x+y\right)^2>=\left(2\sqrt{xy}\right)^2=4xy\Rightarrow1>=4xy\Rightarrow\frac{1}{2}>=2xy\)(bđt cosi)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2>=\frac{4}{1^2}+2=4+2=6\)
dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
vậy min \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=6\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Theo đề bài ta có
\(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(A=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)
\(=x^2+y^2+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
\(=\left(x^2+\frac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{16y^2}\right)+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4+\frac{15}{16}.\frac{2}{xy}\)
\(\ge5+\frac{15}{16}.\frac{2}{\frac{1}{4}}=\frac{25}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(A=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(A=4+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2.\left(x^2+y^2\right)}{xy}=4+\frac{4}{x^2y^2}+\frac{8}{xy}\)
\(A=4\left(\frac{1}{xy}+1\right)^2\)
Mặt khác : \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}=2\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(\frac{1}{2}+1\right)^2=9\)
Vậy Min A = 9 khi x = y = \(\sqrt{2}\)
Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\)=>\(xy\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{A}=\frac{1}{-2xy}-\frac{1}{2}\le-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
=> \(A\ge-\frac{2}{3}\)
\(MinA=-\frac{2}{3}\)khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Trần Phúc Khang: bài này cần gì phải làm phức tạp vậy a
c/m: \(xy\le\frac{1}{2}\)( như bài Trần Phúc Khang)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-2.\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
KL:.............................
a, Áp dụng BĐT cosi với ba số dương có:
\(\frac{1}{xy}+x+y\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xy}.x.y}=3\sqrt[3]{1}=3\)
=> \(\frac{1}{xy}\ge3-x-y=3-2=1\)
Dấu"=" xảy ra <=> x=y=1
Vậy min \(\frac{1}{xy}=1\) <=> x=y=1
b, Với x,y>0 .Áp dụng bđt svac-xơ có
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
c,Có \(\frac{1}{xy}\ge1\) <=> \(1-xy\ge0\)
x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy=2+2(1-xy) \(\ge2+2.0=2\)
Dấu"=" xảy ra <=> x=y=1