Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ \(x,y\ge0\)
Ta có \(x^3+y^3+xy-x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-1=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=1\)
Mà x,y\(\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le\sqrt{x}\le1\\0\le\sqrt{y}\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le1+\sqrt{x}\le2\\\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1\ge P\ge\frac{1}{3}\)
Nhận thấy p\(=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)(thỏa mãn)
Nhận thấy P\(=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)(thỏa mãn)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\le1\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x\le1\\y\ge0\end{cases}}\end{cases}}\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
\(P=2x-3\sqrt{xy}+y=2x-3\sqrt{xy}+y+\left(-x-\sqrt{xy}+4y-4\sqrt{y}+16\right)\)
\(=x-4\sqrt{xy}+5y-4\sqrt{y}+16\)
\(=\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-2\right)^2+12\ge12\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=2\sqrt{y}\\\sqrt{y}-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16\\y=4\end{cases}}\).
Với \(x=16,y=4\)thỏa mãn giả thiết.
Vậy \(minP=12\).