Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét ΔACM và ΔBMN có
AM=BM(M là trung điểm của AB)
\(\widehat{AMC}=\widehat{BMN}\)(hai góc đối đỉnh)
CM=MN(gt)
Do đó: ΔAMC=ΔBMN(c-g-c)
b) Ta có: ΔAMC=ΔBMN(cmt)
nên \(\widehat{CAM}=\widehat{NBM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{CAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), M∈AB)
nên \(\widehat{NBM}=90^0\)
⇒\(\widehat{NBA}=90^0\)
hay NB⊥AB(đpcm)
c) Xét ΔAMN và ΔBMC có
MA=MB(M là trung điểm của AB)
\(\widehat{AMN}=\widehat{BMC}\)(hai góc đối đỉnh)
MN=MC(gt)
Do đó: ΔAMN=ΔBMC(c-g-c)
⇒AN=BC(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{NAM}=\widehat{CBM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{NAM}\) và \(\widehat{CBM}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên AN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ap dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(ABC\)ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(BC^2=3^2+4^2=25\)
\(\Leftrightarrow\)\(BC=\sqrt{25}=5\)
1:
a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔCAE vuông tại E có
AB=CA
góc ABD=góc CAE
=>ΔABD=ΔCAE
b: ΔABD=ΔCAE
=>BD=AE: AD=CE
=>BD-CE=BD-AD=DE
\(a)\)
\(\text{Ta có}:\)
\(\Delta ABC\)\(\text{vuông tại}\)\(A\)
\(\rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\rightarrow AC^2=BC^2-AB^2\)
\(\rightarrow AC^2=15^2-9^2\)
\(\rightarrow AC^2=144\)
\(\rightarrow AC=12\)
\(\rightarrow AB< AC< BC\)
\(\rightarrow\widehat{C}< \widehat{B}< \widehat{A}\)
\(\text{Ta có:}\)
\(AB\perp AC\rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{EAC}\)
\(\rightarrow AB=AE\rightarrow A\)\(\text{là trung điểm}\)\(BE\)
\(b)\)
\(\text{Theo phần a), ta có:}\)\(AB=AE\rightarrow A\text{ }\)\(\text{là trung điểm}\)\(BE\)
\(\rightarrow CA\)\(\text{là trung tuyến}\)\(\Delta CBE\)
\(\text{Mà}\)\(BH\)\(\text{là trung tuyến}\)\(\Delta BCE\)\(,\)\(BH\text{∩}\text{ }CA=M\)
\(\rightarrow M\text{ }\)\(\text{là trọng tâm}\)\(\Delta BCE\)
\(\rightarrow CM=\frac{2}{3}CA\)
\(\rightarrow CM=8\)
\(c)\)
\(\text{Theo phần a)}\)\(\rightarrow\widehat{ECA}=\widehat{ACB}\)
\(\rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{CBA}\)
\(\text{Do}\)\(AK//CE\rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{AEC}=\widehat{CBA}=\widehat{KBA}\rightarrow KB=KA\)
\(\widehat{KAC}=\widehat{ECA}=\widehat{ACB}=\widehat{ACK}\rightarrow KA=KC\)
\(\rightarrow KB=KC\rightarrow K\)\(\text{là trung điểm}\)\(BC\)
\(\text{Mà}\)\(M\)\(\text{là trọng tâm}\)\(\Delta CBE\rightarrow E,MK\)\(\text{thẳng hàng}\)
gọi F là giao của CE với MN
ta có góc ECA= góc FCM ( vì đối đỉnh)
góc EAC= góc FMC = 90 độ
AC=CM
=> tam giác EAC= tam giác FMC => EA=FM mà EA = 1/2 BA ( vì E là trung điểm AB)=> FM = 1/2 AB
do tam giác NMC= tam giác BAC => BA= MN
=> FM=1/2 MN => F là trung điểm của MN => EC đi qua trung điểm MN
Áp dụng t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền được: AM=12BCAM=12BC (1)
Ta có: BM=CM=12BC(2)BM=CM=12BC(2)
Từ (1) và (2) ⇒AM=BM=CM⇒AM=BM=CM
mà AM=MD⇒AM=MD=BM=CMAM=MD⇒AM=MD=BM=CM
⇒ΔAMB⇒ΔAMB cân tại M và ΔCMDΔCMD cân tại M
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g vào:
_ ΔAMBΔAMB có: ABMˆ=1800−AMBˆ2(3)ABM^=1800−AMB^2(3)
_ ΔCMDΔCMD có: MCDˆ=180o−CMDˆ2(4)MCD^=180o−CMD^2(4)
Từ (3) và (4) ⇒ABMˆ=MCDˆ(AMBˆ=CMDˆ)⇒ABM^=MCD^(AMB^=CMD^) đối đỉnh
mà 2 góc này ở vị trí so le trog nên ABAB // CD
Lại có: BACˆ+ACDˆ=180oBAC^+ACD^=180o (trong cùng phía)
⇒ACDˆ=90o⇒ACD^=90o
Nối A với I.
Ta lại có: ACIˆ+EICˆ=180oACI^+EIC^=180o (trong cùng phía)
⇒EICˆ=90o⇒EIC^=90o
Do CI=CA⇒ΔACICI=CA⇒ΔACI cân tại C
⇒CIAˆ=45o⇒CIA^=45o (tổng 3 góc trog tg)
Khi đó: AIEˆ=45oAIE^=45o
⇒CIAˆ=AIEˆ⇒CIA^=AIE^ hay DIAˆ=EIAˆDIA^=EIA^
Vì ACAC // EI ⇒CAIˆ+IAEˆ+AEIˆ=180o⇒CAI^+IAE^+AEI^=180o
⇒45o+IAEˆ+AEIˆ=180o⇒45o+IAE^+AEI^=180o (7)
AB // CD ⇒CIAˆ+CADˆ+BADˆ=180o⇒CIA^+CAD^+BAD^=180o
⇒45o+IADˆ+BADˆ=180o⇒45o+IAD^+BAD^=180o (8)
Lại do AC // EI ⇒HACˆ=AEIˆ⇒HAC^=AEI^ (đồng vị) (5)
Có: HACˆ+HCAˆ=90oHAC^+HCA^=90o
Bˆ+HCAˆ=90oB^+HCA^=90o
Khi đó: HACˆ=BˆHAC^=B^
mà Bˆ=MABˆB^=MAB^ (ΔAMBΔAMB cân tại M)
⇒HACˆ=MABˆ⇒HAC^=MAB^ (6)
Từ (5) và (6) ⇒AEIˆ=MABˆ⇒AEI^=MAB^
hay BADˆ=AEIˆBAD^=AEI^ (9)
Từ (7); (8) và (9) ⇒⇒ IAEˆ=IADˆIAE^=IAD^
Xét ΔAEIΔAEI và ΔADIΔADI có:
EIAˆ=DIAˆEIA^=DIA^ (c/m trên)
AI chung
IAEˆ=IADˆIAE^=IAD^ (c/m trên)
⇒ΔAEI=ΔADI(g.c.g)⇒ΔAEI=ΔADI(g.c.g)
⇒AE=AD⇒AE=AD (*)
mà AM = MD = BM = CM (c/m trên)
⇒AM+MD=BM+CM⇒AM+MD=BM+CM
⇒AD=BC⇒AD=BC (**)
Từ (*) và (**) ⇒AE=BC⇒AE=BC. →đpcm.→đpcm.
Bài này hay ghê!