Question

[Simple]

Cho tam giác ABC .Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của BC ,CA và AB . Chứng minh rằng đường tròn (AFE),(BFD),(CDE) bằng nhau và cùng đi qua một điểm .Xác định điểm chung đó.

Answer 1

[An Thy]

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O có D là trung điểm BC

\(\Rightarrow OD\bot BC\)

Tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE\bot AC\\OF\bot AB\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\angle ODB+\angle OFB=90+90=180\Rightarrow OFBD\) nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow OECD,OEAF\) nội tiếp

\(\Rightarrow\left(AFE\right),\left(BFD\right),\left(CDE\right)\) cùng đi qua điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Xét \(\Delta ABC\) có E,F lần lượt là trung điểm AC,AB

\(\Rightarrow\) EF là đường trung bình \(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}BC\)

Tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DF=\dfrac{1}{2}AC\\DE=\dfrac{1}{2}AB\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta FBD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AF=BF\\AE=FD=\dfrac{1}{2}AC\\FE=BD=\dfrac{1}{2}BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AFE=\Delta FBD\left(c-c-c\right)\Rightarrow\left(AFE\right)=\left(FBD\right)\) 

Tương tự \(\Rightarrow\left(CDE\right)=\left(AFE\right)\Rightarrow\left(AFE\right)=\left(FBD\right)=\left(CDE\right)\)

Answer 2

[Simple]

thanks