Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x1 ; x2 là 2 ngiệm của P(x) => P(x1) = P (x2) = 0
=> ax12 + bx1 + c = ax22 + bx2 + c = 0
=> ax12 + bx1 + c - ( ax22 + bx2 + c) = 0
<=> a. (x12 - x22 ) + b.(x1 - x2) = 0 <=> a. (x1 - x2). (x1 + x2) + b.(x1 - x2) = 0
<=> (x1 - x2). [ a.(x1 + x2) + b ] = 0 mà x1 ; x2 khác nhau nên a.(x1 + x2) + b = 0 => b = - a.(x1 + x2) (*)
+) ax12 + bx1 + c = 0 => c = - ( ax12 + bx1) = - x1. (ax1 + b) = - x1 . (-ax2) = ax1. x2 (Do (*))
vậy c = ax1.x2 (**)
Thay b ; c từ (*) và (**) vào P(x) ta được P(x) = ax2 -ax.(x1 + x2) + ax1.x2 = ax2 - ax.x1 - ax.x2 + ax1.x2
= ax. (x - x1) - ax2 . (x - x1) = (ax - ax2). (x - x1) = a. (x - x2). (x - x1) => ĐPCM
theo đề bài ta có:
\(\int\left(x_1\right)=2x_1+3\\ \int\left(x_2\right)=2x_2+3\\ suyra:\int\left(x_1\right)+\int\left(x_2\right)=2x_1+3+2x_2+3=2\cdot5+6=16\)
(có gì sai xin mọi người chỉ bảo thêm ạ!)
Lời giải sẽ dài lắm nhé
x1,x2 là hai nghiệm của \(P(x)\)nên :
\(P(x_1)=ax_1^2+bx_1+c=0\) \((1)\)
\(P(x_2)=ax^2_2+bx^2+c=0\)
\(P(x_1)-P(x_2)=a\left[x^2_1-x^2_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(a\left[x_1+x_2\right]\left[x_1-x_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(\left[x_1-x_2\right]\left[a\left\{x_1+x_2\right\}+b\right]=0\)
Vì x1 \(\ne\)x2 nên x1 - x2 \(\ne\)0 do đó
\(a\left[x_1+x_2\right]+b=0\Rightarrow b=-a\left[x_1+x_2\right]\) \((2)\)
Thế 2 vào 1 ta được :
\(ax^2_1-a\left[x_1+x_2\right]\cdot x_1+c=0\)
\(\Rightarrow c=ax_1\left[x_1+x_2\right]-ax^2_1=ax_1x_2\) \((3)\)
Thế 2 vào 3 vào P\((x)\)ta được :
\(P(x)=ax^2+bx+c=ax^2-ax\left[x_1+x_2\right]+ax_1x_2\)
\(=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left[x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right]\)
\(=a\left[x\left\{x-x_1\right\}-x_2\left\{x-x_1\right\}\right]=a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\)
Vậy : ....
nhìn nó dài nhưng chỉ cần lập luận vài bước thui
Điều kiện : \(x_1,x_2,x_3,...,x_{2000}\ne0.\)
Từ (1) suy ra \(2x_1x_2=x_2^2+1>0\Rightarrow x_1\)và \(x_2\)cùng dấu.
Tương tự ta cũng có:
Từ (2) suy ra \(x_2\)và \(x_3\)cùng dấu
.....................................................
Từ (1999) suy ra \(x_{1999}\)và \(x_{2000}\)cùng dấu
Từ (2000) suy ra \(x_{2000}\)và \(x_1\)cùng dấu
Như vậy : các ẩn số \(x_1,x_2,...,x_{2000}\)cùng dấu .
Mặt khác nếu \(\left(x_1,x_2,...,x_{2000}\right)\)là một nghiệm thì \(\left(-x_1,-x_2,...,-x_{2000}\right)\)cũng là nghiệm . Do đó chỉ cần xét \(x_1,x_2,...,x_{2000}>0\).
Khi đó : \(2x_1=x_2+\frac{1}{x_2}\ge2\Rightarrow x_1\ge1\Rightarrow\frac{1}{x_1}\le1\)
\(2x_2=x_3+\frac{1}{x_3}\ge2\Rightarrow x_2\ge1\Rightarrow\frac{1}{x_2}\le1\)
...............................................................................................
Tương tự , ta có: \(x_{2000}\ge1\Rightarrow\frac{1}{x_{2000}}\le1\)
Suy ra : \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_{2000}}\le x_1+x_2+...+x_{2000}\)
Mặt khác; nếu cộng từng vế 2000 phương trình của hệ , ta có:
\(x_1+x_2+...+x_{2000}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_{2000}}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2=...=x_{2000}=1\)
Tóm lại hệ đã cho có 2 nghiệm :
\(\left(x_1,x_2,...,x_{2000}\right)=\left(1;1;...;1\right),\left(-1;-1;...;-1\right).\)
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}m\ne0\\\Delta\ge0\end{cases}}\)
Xét \(\Delta=\left(m+2\right)^2-8m=\left(m-2\right)^2\ge0\)
Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x_1;x_2\)với mọi m khác 0
Theo hệ thức Viet , ta có : \(x_1+x_2=\frac{m+2}{m}\left(1\right);x_1x_2=\frac{2}{m}\)(2)
Ta có \(P=\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1+x_2}{x_1x_2}\)
\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)
\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}-2\)(3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra \(P=\frac{m^2+m+2}{m}\)với m khác 0
1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(P=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2}}=2\sqrt{1}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab=0\)
1) Anh phương làm lạ zậy?
Đặt \(x=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\) (do a.b > 0 nên ta không cần viết 2|ab| thay cho 2ab)
Khi đó bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+\frac{1}{x}\) (với \(x\ge2\))
Ta có: \(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}+\frac{3x}{4}\ge1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Vậy P min là 5/2 khi x = 2
x1=a; x2=b
a)
(a+1)^2>=4a^2=(2a)^2
<=>(a+1-2a)(a+1+2a)>=0
<=>(1-a)(3a+1)>=0
a€[0;1]
3a+1>0
1-a>=0
=>dpcm