Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mệnh đề B và D đều sai
Mệnh đề B chỉ đúng khi a;b;c;d dương
Mệnh đề D thì sai rõ ràng
Ta có BĐT \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Lợi dụng BĐT Cauchy-Schwarz tao cso:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+9\right)\)
\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+9\right)\)
Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\left(t\ge3\right)\) thì cần chứng minh:
\(3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+9\right)\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+9\right)\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(t+9\right)\le4t^2\Leftrightarrow-\left(t-3\right)\left(4t+9\right)\le0\) (Đúng)
Ta có BĐT \(3\le ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
Và BĐT: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(\le\sqrt{9}=3\le a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+9\right)\)
\(\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[a^2+b^2+c^2+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)=VP^2\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Từ \(a+b+c=13\Rightarrow c=13-(a+b)\)
Khi đó \(M=abc=ab(13-a-b)\). Vì \(a+b\leq 5\rightarrow 13-a-b>0\)
Hơn nữa, áp dụng BĐT AM-GM ta có \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\)
Do đó \(M=ab(13-a-b)\leq \frac{(a+b)^2(13-a-b)}{4}\)
Đặt \(a+b=t\Rightarrow t\in (0;5]\)
Ta cần chứng minh \(M\leq 50\Leftrightarrow t^2(13-t)\leq 200\)
\(\Leftrightarrow (t-5)(t^2-8t-40)\geq 0\) \((\star)\)
Vì \(t\in (0;5]\Rightarrow t-5\leq 0\).
Và \(t^2-8t-40=t(t-5)-3t-40<0\) với \(0< t\leq 5\)
Do đó, \((t-5)(t^2-8t-40)\geq 0\). tức là BĐT \((\star)\) luôn đúng
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=\left (\frac{5}{2},\frac{5}{2},8\right)\)