Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương Ann Nhã Doanh Đinh Đức Hùng Mashiro Shiina
Nguyễn Thanh Hằng Nguyễn Huy Tú Lightning Farron
Akai Haruma Võ Đông Anh Tuấn
mấy anh chị cm cho e thêm cái : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\\\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\az-cx=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(ax-by\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2x^2-2axby+b^2y^2\right)+\left(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2-\left(a^2x^2+b^2b^2+c^2y^2+2axby+2azcx+2bzcy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+y^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+z^2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+ab+cz\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) ( theo bđt Bu-nhi-a Cop-xki )
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
Vậy nếu \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
Lời giải:
\(\frac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow (ax+by+cz)^2=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(\Leftrightarrow 2axby+2bycz+2axcz=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)
\(\Leftrightarrow (a^2y^2+b^2x^2-2axby)+(a^2z^2+c^2x^2-2axcz)+(b^2z^2+c^2y^2-2bycz)=0\)
\(\Leftrightarrow (ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0\)
Vì bản thân mỗi số hạng đều không âm nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((ay-bx)^2=(az-cx)^2=(bz-cy)^2=0\Rightarrow ay=bx; az=cx; bz=cy\)
\(\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Ta có đpcm.
Ta có : \(\dfrac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz=a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)
\(\Leftrightarrow2axby+2axvz+2bycz=a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2-2axby-2azcx-2bycz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)
Do \(\left(ay-bx\right)^2\ge0;\left(az-cx\right)^2\ge0;\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{c}{z}=\dfrac{a}{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\left(đpcm\right)\)
:D
2) ta có: \(VT=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) và \(VP=\left(ax+by\right)^2\)
tính hiệu của cả VT và VP
suy ra: \(\left(ay+bx\right)^2=0\Rightarrow ay=bx\)
vì \(x,y\ne0\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\left(đpcm\right)\)
3)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2 (1)
biến đổi đẳng thức (1) thành (ay+bx)2 + (bz-cy)2 +(az-cx)2 =0
\(\Rightarrow\) Đpcm
Giả sử điều cần c/m là đúng . Khi đó , ta có :
\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2a^2+y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+y^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2+z^2c^2\)
\(=x^2a^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)
\(\Leftrightarrow y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2=2axby+2bycz+2axcz\)
\(\Leftrightarrow y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2-2axby-2bycz-2axcz=0\) \(\Leftrightarrow\left(y^2a^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)+\left(x^2c^2-2axcz+a^2z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2=0\left(1\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\\\left(cx-az\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2\ge0\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\cx-az=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\cx=az\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\\\dfrac{c}{z}=\dfrac{a}{x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Điều này đúng với GT đề bài cho
\(\Rightarrow\) Điều cần c/m là đúng
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(đpcm\right)\)
hơi dài bạn ạ bđt trên đúng theo bunhia vì dấu "=" đúng với điều kiện rồi
Đặt x/a=y/b=z/c=k
=>x=ak; y=bk; z=ck
\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2}{\left(a\cdot ak+b\cdot bk+c\cdot ck\right)^2}\)
\(=\dfrac{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)