Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Từ ĐKĐB kết hợp BĐT Bunhiacopxky:
\(3(a^2+6)=3(a^2+a^2+b^2)=(1+2)(2a^2+b^2)\geq (\sqrt{2}a+\sqrt{2}b)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{3(a^2+6)}\geq \sqrt{2}(a+b)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a,b>0\\ a^2+b^2=6\\ \frac{1}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{b}\end{matrix}\right.\) hay $a=\sqrt{\frac{6}{5}}; b=2\sqrt{\frac{6}{5}}$
ta có: \(\sqrt{3\left(a^2+b^2\right)}\ge\left(a+b\right)^2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow3\left(2a^2+b^2\right)\ge2\left(a+b\right)^2\)(vì a2+b2=6)
\(\Leftrightarrow6a^2+3b^2\ge2a^2+4ab+2b^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(2a-b\right)^2\ge0\)
(luôn đúng với mọi a;bdương)
=> đpcm
\(\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)\le\left(\frac{4a+4b}{2}\right)^2=\left(2a+2b\right)^2\)
=>\(\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\frac{1}{2}\left(2a+2b\right)=a+b\)
Mình làm phần dễ nhất rồi, còn lại của bạn đó ^^
\(\sqrt{3\left(a^2+6\right)}\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow6a^2+3b^2\ge2a^2+4ab+2b^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
=> ĐPCM
Ta có: \(\sqrt{3\left(a^2+6\right)}\ge\left(a+b\right)\sqrt{2}\)
<=> \(3\left(a^2+6\right)\ge2\left(a+b\right)^2\)
<=> \(3\left(a^2+b^2+a^2\right)\ge2a^2+2b^2+4ab\)
<=> \(6a^2+3b^2\ge2a^2+2b^2+4ab\)
<=> \(4a^2-4ab+b^2\ge0\)
<=> \(\left(2a-b\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng) => đpcm
=> Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}2a=b\\a^2+b^2=6\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{\dfrac{6}{5}}=\dfrac{\sqrt{30}}{5}\\b=\dfrac{2\sqrt{30}}{5}\end{matrix}\right.\)
Bình phương 2 vế ta được
3a2 + 18 - 2a2 - 4ab - 2b2 \(\ge\)0
<=> a2 - 2b2 - 4ab + 3( a2 + b2) \(\ge0\)
<=> 4a2 - 4ab + b2 \(\ge0\)
<=> (2a - b)2 \(\ge0\)(đúng)