Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a, b, c > 25/4, tìm GTNN của biểu thức: M=\(\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
a) ta có : \(sinc=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow sin^2c=\dfrac{4}{9}\)
ta lại có : \(sin^2c+cos^2c=1\Rightarrow cos^2c=1-sin^2c=\dfrac{5}{9}\)
\(\Rightarrow cosc=\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
ta có : \(tanc=\dfrac{sinc}{cosc}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) \(\Rightarrow cotc=\dfrac{1}{tanc}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
vậy \(sinc=\dfrac{2}{3};cosc=\dfrac{\sqrt{5}}{3};tanc=\dfrac{2}{\sqrt{5}};cotc=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
b) lấy kết quả của câu a
ta có : \(sinc=\dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow cosc=\dfrac{\sqrt{5}}{3};tanc=\dfrac{2}{\sqrt{5}};cot=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
ta có : \(sinb=cosc=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) ; \(cosb=sinc=\dfrac{2}{3}\) ; \(tanb=cotc=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) ; \(cotb=tanc=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
vậy \(sinb=\dfrac{\sqrt{5}}{3};cosb=\dfrac{2}{3};tanb=\dfrac{\sqrt{5}}{2};cotb=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
c) chép lại đề đi nha .
làm rõ \(\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)=\sum_{cyc}\frac{a-b}{2(a+b)}\)
\(=\sum_{cyc}\frac{(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\sum_{cyc}\frac{c^2a-c^2b}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\)
\(=\sum_{cyc}\frac{a^2b-a^2c}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\geq0\) (đúng)
ok thỏa thuận rồi tui làm nửa sau thui nhé :D
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\) thì ta có:
\(VT=\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+z}}\)
Lại có: \(\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}=\sqrt{\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\cdot\sqrt{x+z}}\)
Tương tự cộng theo vế rồi áp dụng BĐT C-S ta có:
\(VT^2\le2\left(x+y+z\right)\left[\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
Vì \(VP^2=\dfrac{9}{2}\) nên cần cm \(VT\le \frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
Can you continue
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có:
\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{b}{c}}=2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a}{b}}=2\)
Vì \(2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\ge2\) nên \(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\) (đpcm)