Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho phương trình x2-(2m-1)x+4=0 (1)
Để phương trình có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)thì \(\Delta=4\left(m^2+2m+1\right)-4\left(2m+3\right)>0\Leftrightarrow4m^2-8>0\)
\(\Leftrightarrow m^2>2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m< -\sqrt{2}\\m>\sqrt{2}\end{cases}}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2.\left(m+1\right)\\x_1.x_2=2m+3\end{cases}}\)
Từ \(\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=4\)
\(\Rightarrow4\left(m+1\right)^2-4\left(2m+3\right)=4\Leftrightarrow4m^2+8m+4-8m-12-4=0\)
\(\Leftrightarrow m^2=3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\sqrt{3}\\m=-\sqrt{3}\end{cases}}\)
Kết hợp ĐK ta thấy \(\orbr{\begin{cases}m=\sqrt{3}\\m=-\sqrt{3}\end{cases}}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì △>0\(\Leftrightarrow b^2-4ac>0\Leftrightarrow\left(-6\right)^2-4.1.\left(2m-3\right)>0\Leftrightarrow36-8m+12>0\Leftrightarrow8m< 48\Leftrightarrow m< 6\)
Theo định lí Vi-ét với m<6 ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{6}{1}=6\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2m-3}{1}=2m-3\end{matrix}\right.\)
Ta lại có \(\left(x_1^2-5x_1+2m-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2m-4\right)=0\Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2-5x_1^2x_2+\left(2m-4\right)x^2_1-5x_1x_2^2+25x_1x_2+5.\left(2m-4\right)x_1+\left(2m-4\right)x_2^2-5\left(2m-4\right)x_2+\left(2m-4\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2-5x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+\left(2m-4\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-5\left(2m-4\right)\left(x_1+x_2\right)+25x_1x_2+\left(2m-4\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2-5x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+\left(2m-4\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-5\left(2m-4\right)\left(x_1+x_2\right)+25x_1x_2+\left(2m-4\right)^2=0\Leftrightarrow\left(2m-3\right)^2-5\left(2m-3\right).6+\left(2m-4\right)\left[36-2\left(2m-3\right)\right]-5\left(2m-4\right).6+25.\left(2m-3\right)+\left(2m-4\right)^2=0\Leftrightarrow4m^2-12m+9-60m+90+100m-8m^2-168-60m+120+50m-75+4m^2-16m+16=0\Leftrightarrow2m-8=0\Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)
Vậy m=4 thì phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left(x_1^2-5x_1+2m-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2m-4\right)=0\)
\(\Delta'\ge0\Rightarrow m\le6\)
Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1;x_2\) là nghiệm nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-6x_1+2m-3=0\\x_2^2-6x_2+2m-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-5x_1+2m-4=x_1-1\\x_2^2-5x_2+2m-4=x_2-1\end{matrix}\right.\)
Thay vào bài toán:
\(\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=0\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow2m-3-6+1=0\)
\(\Leftrightarrow2m=8\Rightarrow x=4\)
Sự dụng vi et 2 lần nhé.
ta có : \(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4.4=\left(2m-1\right)^2-16\)
phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-16\ge0\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2\ge16\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1\ge4\\2m-1\le-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m\ge5\\2m\le-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{5}{2}\\m\le\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)
áp dụng hệ thức \(vi-ét\) ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)
thay vào phương trình : \(x_1^2+\left(2m-1\right)x_2+8-17m=0\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+\left(2m-1\right)\left(\left(2m-1\right)-x_1\right)+8-17m=0\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+\left(2m-1\right)^2-\left(2m-1\right)x_1+8-17m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-\left(2m-1\right)\right)x_1+\left(2m-1\right)^2+8-17m=0\)
\(\Leftrightarrow-x_2x_1+\left(2m-1\right)^2+8-17m=0\)
\(\Leftrightarrow-4+4m^2-4m+1+8-17m=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-21m+5=0\Leftrightarrow4m^2-m-20m+5=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(4m-1\right)-5\left(4m-1\right)=0\Leftrightarrow\left(4m-1\right)\left(m-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m-1=0\\m-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\\m=5\left(tmđk\right)\end{matrix}\right.\) vậy \(m=5\)