Question

[Duong Thi Nhuong]

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AH, kẻ MB cắt nửa đường tròn tâm O ở Q và cắt CH ở N.

a) Chứng minh \(MA^2=MQ.MB\)

b) Gọi I là giao điểm của AC và MO. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp

c) Chứng minh CN = NH

Answer 1

[Trần Thiên Kim]

a. Ta có: góc AQB=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AQ vuông góc BM

Xét tam giác AMB vuông tại A có AQ là đường cao có: (AQ vuông góc BM)

\(MA^2=MQ.MB\) (hệ thức lượng)

b. Ta có:

OA=OC=R

MA=MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> OM là trung trực của AC.

=> OM vuông góc AC tại I.

=> Góc AIM = 90 độ.

Xét tứ giác AIQM có:

Góc AIM = 90 độ (cmt)

Góc AQM = 90 độ (góc AQB = 90 độ)

=> Góc AIM = góc AQM = 90 độ

=> AIQM là tgnt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc không đổi)

c. BC cắt AM tại K.

Ta có: Góc KAC = góc MCA (tg AMC cân vì MA=MC)

Mà góc KAC + góc AKC = 90 độ (tg AKC vuông tại C)

=> Góc MCA + góc AKC = 90 độ

Mà góc MCA + góc MCK = 90 độ

=> góc AKC = góc MCK

=> Tg MKC cân tại M

=> MC=MK

Mà MC=MA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> MK=MA

Ta có: HN // MA (cùng vuông góc AB)

\(\dfrac{\Rightarrow HN}{MA}=\dfrac{BN}{BM}\) (hệ quả định lý Ta-lét) (*)

Ta có: CN // MK ( C thuộc tia HN, K thuộc tia AM)

=> \(\dfrac{CN}{MK}=\dfrac{BN}{BM}\) (hệ quả định lý Ta-lét) (**)

Từ (*), (**) và MA=MK (cmt) =>CN=HN