Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}mx+y=m^2+m+1\\-x+my=m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\left(my-m^2\right)+y-m^2-m-1=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(m^2y-m^2\right)+\left(y-1\right)-\left(m^3+m\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+1\right)\left(y-m-1\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y=m+1\\x=m\left(m+1\right)-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2=2m^2+2m+1=2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\) hay hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) \(\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}\le8\) hay \(\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+1\le3\Rightarrow xy\le4\)
Ta có : \(\left(9-xy\right)^2=\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2\left(x+y+xy\right)=x^2+y^2+17\)
Vì \(xy\le4\Rightarrow9-xy\ge5\Rightarrow\left(9-xy\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+17\ge25\)
\(\Rightarrow A\ge8\) . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2
Vậy Min A = 8 tại x = y = 2
Ta có:
\(x^2+y^2=\)
\(=\frac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\frac{8}{3}\)
\(\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)-\frac{8}{3}=8\)
\(\Rightarrow P\ge8\)
Dấu = khi \(x=y=2\)
Vậy MinP=8 khi x=y=2
a) \(\begin{cases}x^2-5x+6<0\\ax+4<0\end{cases}\)
bất phương trình đầu có nghiệm là 1 < x < 6
Xét a = 0 => bpt thứ hai vô nghiệm (4 < 0) => Hệ vô nghiệm
Xét a > 0 => bpt thứ hai có nghiệm là x < -4/a < 0 => kết hợp với 1 < x < 6 thì hệ vô nghiệm
Xét a < 0 => bpt thứ hai có nghiệm là x > -4/a. Kết hợp với 1 < x < 6 thì để hệ có nghiệm thì -4/a <6 => -4 > 6a => a < -4/6 = -2/3, thỏa mãn đk a <0
ĐS: a < -2/3
b) bpt thứ nhất có nghiệm là x > 1.
bpt thứ hai có dạng: (x - a)2 +1 - a2 < 0; (x - a)2 < a2 - 1
Nếu a2 - 1 < 0, tức là -1 < a < 1 thì bpt trên vô nghiệm,
Nếu a < -1 hoặc a > 1 thì bpt trên có nghiệm là \(-\sqrt{a^2-1}+a\le x\le\sqrt{a^2-1}+a\)
Kết hợp với nghiệm x > 1 thì để hệ có nghieemh ta phải có \(\sqrt{a^2+1}+a>1\) => \(\sqrt{a^2+1}>1-a\), nếu a>1 thì luôn đúng, còn nếu a < -1 thì a2 + 1 > 1 - 2a + a2 =>a >0 (mâu thuẫn với a < -1)
KL: với a > 1 thì hệ bpt có nghiệm
Lời giải:
TH1: $m=0$ thì dễ thấy hpt có nghiệm \((x,y)=(0,1)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=1\)
TH2: $m\neq 0$
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2x+my=m^3+m^2+m\\ -x+my=m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^2x+x=m^3+m^2+m-m^2\)
\(\Leftrightarrow x(m^2+1)=m^3+m=m(m^2+1)\)
\(\Rightarrow x=m\)
\(\Rightarrow my=m^2+x=m^2+m\Rightarrow y=m+1\)
Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(m,m+1)$
\(\Rightarrow x^2+y^2+m^2+(m+1)^2=2m^2+2m+1\)
\(=2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}\)
Vậy \((x^2+y^2)_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)
Tổng kết cả TH1; TH2 suy ra $m=\frac{-1}{2}$ thì $x^2+y^2$ đạt min.
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của nguyen dai duong - Toán lớp 10 | Học trực tuyến