Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: 2P=(a2+b2) + (b2+c2) + (c2+a2)
Theo Cauchy có:
\(2P\ge2ab+2bc+2ca=2\left(ab+bc+ca\right)=2.9\)
=> \(P\ge9\)=> Pmin = 9 đạt được khi x=y=\(\sqrt{3}\)
Hoặc:
P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2)
Theo Bunhiacopxki có:
P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2) \(\ge\)(ab+bc+ca)2=92
=> P\(\ge\)9 => Pmin=9
Vì \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)(gt) => \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)<=> ab -a -b + 1 \(\ge0\)(1)
\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)<=> bc - b - c + 1 \(\ge0\)(2)
\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)<=> ca -c - a + 1 \(\ge0\)(3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:
ab + bc + ca -2(a +b +c) + 3 \(\ge0\)
=> \(a+b+c\le\frac{ab+bc+ca+3}{2}=\frac{9+3}{2}=6\)
Mà \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\Rightarrow a+b+c\ge3\)=> \(3\le a+b+c\le6\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\le36\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le36\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=36-2\times9=18\)=> P \(\le18\)
Vậy GTLN của P là 18
Dâu "=" xảy ra khivà chỉ khi:
a =b=1, c=4
hoặc: b=c=1, a=4
hoặc: c=a=1, b=4
Ta có : \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=1\).Nên ab - 1 \(\le0\)
Do đó \(P^2=\left[\left(a+b\right).1+c\left(1-ab\right)\right]^2\le\left[\left(a+b\right)^2+c^2\right]\left[1^2+\left(1-ab\right)^2\right]\)
\(=\left(a^2+2ab+b^2+c^2\right)\left(1+1-2ab+a^2b^2\right)\)
\(=\left(2ab+3\right)\left(a^2b^2-2ab+2\right)\)
\(=2a^3b^3-4a^2b^2+4ab+2a^2b^2-4ab+4\)
\(=2a^3b^3-2a^2b^2+4\)
\(=2a^2b^2\left(ab-1\right)+4\le4\)( vì \(a^2b^2\ge0,ab-1\le0\))
Suy ra \(-2\le P\le2\)
\(\cdot P\le2.\).Dấu " = " có thể xảy ra khi a = b = 1 , c= 0
\(\cdot P\ge-2.\)Dấu " = " có thể xảy ra khi a = b = -1 , c= 0
Vậy Max P là 2 và Min P là -2
Dễ chứng minh được \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\le6\)
Ta có : \(T=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)
\(=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
\(\le3-\frac{9}{a+b+c+3}\le3-\frac{9}{6+3}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Ta có: \(a^2+b^2=4\Leftrightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)
\(\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
Ta có: \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
Vậy \(M_{max}=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
\(P=\left(a^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\right)+\left(b^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{3}{8}\)
\(P\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{16^3}}+4\sqrt[4]{\dfrac{b^2}{16^3}}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{8}\)
\(P_{min}=\dfrac{1}{8}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a;b\ge0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}\ge a^2\\\sqrt{b}\ge b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(\left(a;b\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)