Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}\cdot\frac{1+y}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\\\frac{y^3}{1+z}+\frac{1+z}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+z}\cdot\frac{1+z}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\\\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{1+x}\cdot\frac{1+x}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3z}{2}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được \(P+\frac{3+x+y+z}{4}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{5}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{9}{4}\)
Mà ta có \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge9\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Do đó \(P\ge\frac{5}{4}\cdot3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy minP=\(\frac{3}{2}\)khi x=y=z=1
Gọi T là tập giá trị của A. Điều kiện để \(m\in T\) là hệ phương trình sau có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\)
\(\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{xy\left(x+y\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(S=x+y\)
\(P=xy;\left(S^2\ge4P\right)\) . Hệ (1) trở thành \(\begin{cases}SP=S^2-3P\\\frac{S^2}{P^2}=m\end{cases}\) (2)
Hệ (1) có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\) khi và chỉ khi hệ (2) có nghiệm (S,P) thỏa mãn \(S^2\ge4P;P\ne0\) do
\(S^2-3P=x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0\) với mọi \(x\ne0;y\ne0\) nên SP > 0 \(\Rightarrow\frac{S}{P}>0\)
Như thế :
* Nếu \(m\le0\) thì hệ (2) vô nghiệm
* Nếu m > 0 thì
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\begin{cases}SP=S^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{m}P^2=mP^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P^2-3P=0\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) do \(P\ne0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P=3\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) (3)
Hệ (3) có nghiệm khi và chỉ khi \(m-\sqrt{m}\ne0\Leftrightarrow m\ne1\), lúc này từ (3) ta có :
\(P=\frac{3}{m-\sqrt{m}}\Rightarrow S=\frac{3}{\sqrt{m}-1}\)
Hệ (2) có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4;P\ne0\) khi và chỉ khi:
\(0< m\ne1\) và \(\frac{9}{\left(\sqrt{m}-1\right)^2}\ge\frac{12}{\sqrt{m}\left(\sqrt{m}-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(3\sqrt{m}\ge4\left(\sqrt{m}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(\sqrt{m}\le4\Leftrightarrow m\in\) (0;16] \ \(\left\{1\right\}\)
Tập giá trị của A là (0;16] \ \(\left\{1\right\}\) suy ra max A = 16 ( không tồn tại min A)
gọi T là tập hợp giá trị của F
\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)+\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{y}-1\right)=\sqrt[3]{xy}\\\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{xy}=m\end{cases}\)
Đặt S = \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y},P=\sqrt[3]{xy}\) điều kiện \(S^2\ge4P\)hệ 1 trở thành
\(\begin{cases}S^2-S-3P=0\\S+P=m\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}S^2+2S-3m=0\\P=m-s\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m=\frac{S^2+2S}{3}\\P=\frac{S^2-S}{3}\end{cases}\)
Ta có \(S^2\ge4P\Leftrightarrow S^2\ge\frac{4S^2-4S}{3}\Leftrightarrow s^2-4S\le0\Leftrightarrow0\le S\le4\)
từ đó , hệ 1 có nghiệm \(\Leftrightarrow\)hệ 2 có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4P\Leftrightarrow\)phương trình \(S^2+2S-3m=0\)có nghiệm S thỏa mãn điều kiện 0\(0\le S\le4\)tức là
\(\Delta'=1+3m\ge0\)và \(\left[\begin{array}{nghiempt}0\le-1-\sqrt{1+3m}\le4\\0\le-1+\sqrt{1+3m}\le4\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m\ge-\frac{1}{3}\\1\le\sqrt{1+3m}\le5\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(0\le m\le8\)
vậy max F=8, min=0
\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)
\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)
\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)
\(\frac{27}{3\sqrt{3x-2}+6}+\frac{8+4x-x^2}{x\sqrt{6-x}+4}\ge\frac{3}{2}+\frac{2x-14}{3\sqrt{6-x}+2}>0\)
Nên phần còn lại vô nghiệm
Ta có: x+y=\(\sqrt{3}\)xy\(\Rightarrow\)\(\sqrt{3}\)xy-y=x\(\Rightarrow\)y(\(\sqrt{3}\)x-1)=x\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}\)=\(\sqrt{3}\)x-1