Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ý bạn là dãy số này: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=u_n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}+2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}=u_n+2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n=u_n+2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1+2\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=1\)
\(\Rightarrow v_n=v_1=1\Rightarrow u_n+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=1\)
\(\Rightarrow u_n=1-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left[1-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]=1-0=1\)
Xét khai triển:
\(\left(x+1\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^n+C_n^3x^3+...+C_n^nx^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(x+1\right)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+nC_n^nx^{n-1}\)
Thay \(x=1\) vào ta được:
\(n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^2=256n\)
\(\Rightarrow2^{n-1}=256=2^8\Rightarrow n=9\)
Câu 2:
\(\left(x-2\right)^{80}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_{80}x^{80}\)
Đạo hàm 2 vế:
\(80\left(x-2\right)^{79}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+80a_{80}x^{79}\)
Thay \(x=1\) ta được:
\(80\left(1-2\right)^{79}=a_1+2a_2+3a_3+...+80a_{80}\)
\(\Rightarrow S=80.\left(-1\right)^{79}=-80\)
a/ \(S=5.15-2+5.16-2+...+5.40-2\)
\(=5\left(15+16+...+40\right)-2.26\)
\(=5.715-2.26=3523\)
b/ \(S=5\left(2+4+...+30\right)-2.29\)
\(=5.240-2.29=1142\)
Cách đơn giản nhất: tính trực tiếp
\(u_2=\frac{1}{3}\left(u_1+1\right)=1\) ; \(u_3=\frac{1}{3}\left(u_2+1\right)=\frac{2}{3}\) ; \(u_4=\frac{1}{3}\left(u_3+1\right)=\frac{4}{9}\)
Còn nếu rảnh thì bạn có thể tìm công thức tổng quát của \(u_n\), nhưng chỉ nên áp dụng khi người ta bắt tính với \(n\) lớn kiểu \(u_{40}\) chẳng hạn
\(u_3+u_7+...+u_{35}=u_1q^2+u_1q^6+...+u_1q^{34}\)
\(=u_1q^2\left(1+q^4+q^8+...+q^{32}\right)=u_1q^2.\frac{\left(q^4\right)^9-1}{q^4-1}=524286\)
2/ \(u_1^2+u_2^2+...+u_{20}^2=u_1^2+u_1^2q^2+u_1^2q^4+...+u_1^2q^{38}\)
\(=u_1^2\left(1+q^2+q^4+...+q^{38}\right)=u_1^2\frac{\left(q^2\right)^{20}-1}{q^2-1}=\frac{3^{20}-1}{2}\)
3/
\(u_1=2;u_n=18\)
\(u_1^2+u_2^2+...+u_n^2=484\)
\(\Leftrightarrow u_1^2+u_1^2q^2+...+u_1^2q^{2\left(n-1\right)}=484\)
\(\Leftrightarrow u_1^2\left(1+q^2+...+q^{2\left(n-1\right)}\right)=484\)
\(\Leftrightarrow1+q^2+...+q^{2\left(n-1\right)}=121\)
\(\Leftrightarrow\frac{q^{2n}-1}{q^2-1}=121\)
Mà \(u_n=u_1q^{n-1}\Rightarrow q^{n-1}=\frac{u_n}{u_1}=9\Rightarrow q^n=9q\Rightarrow q^{2n}=81q^2\)
\(\Rightarrow\frac{81q^2-1}{q^2-1}=121\Rightarrow81q^2-1=121q^2-121\)
\(\Rightarrow q^2=3\Rightarrow q=\pm\sqrt{3}\)
\(u_n=1+2\left(n-1\right)=1+2n-2=2n-1\left(\text{*}\right)\)
Chứng minh
Với \(n=1\)
\(VT=1;VP=2\cdot1-1=1=VT\)
Vậy \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=1\)
Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\ge1\) tức là
\(u_k=u_{k-1}+2=2k-1\)
Ta chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)
Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp ta có
\(u_{k+1}=u_k+2=2k-1+2=2k+2-1=2\left(k+1\right)-1\)
Vậy ...
S= u1.u1 + u2.u2+...+un.un
S = u1.(u2 - d) + u2.(u3 - d)+...+un(un+1 - d)
S = u1.u2 + u2.u3 +...+un.un+1-d(u1+u2+...+un)
Đặt A = u2.u3 + u3.u4+...+un.un+1
3d.A = u2.u3.(u4-u1) + u3.u4.(u5-u2)+...+un.un+1.(un+2-un-1)
3d.A = u2.u3.u4 - u1.u2.u3 + u3.u4.u5 - u2.u3.u4+...+un.un+1.un+2 - un-1.un.un+1
3d.A = un.un+1.un+2 - u1.u2.u3
3d.A = (u1 + d.n - d)(u1 + d.n)(u1 + d.n + d) - u1.(u1+d).(u1+2.d)
A = [(u1 + d.n - d)(u1 + d.n)(u1 + d.n + d) - u1.(u1+d).(u1+2.d)]/(3.d)
S = A + u1.(u1 + d) + d[2.u1+(n-1).d].n/2