Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
+) Ta có
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
+ ) Theo phần trên
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
2,
Ta có: \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)+5\left(y+z\right)^2=28yz\le7\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)-2\left(y+z\right)^2\le0\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}-2\le0\)\(\Leftrightarrow\left(5.\frac{x}{y+z}+1\right)\left(\frac{x}{y+z}-2\right)\le0\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)(Do \(5.\frac{x}{y+z}+1>0\forall x,y,z>0\))
\(\Rightarrow E=\frac{2x-y-z}{y+z}=2.\frac{x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y=z=\frac{x}{4}\)
Đặt biểu thức ở vế trái là A.
Ta có: \(A+3=\frac{2x+3y+4z+2022}{1+2x}+\frac{2x+3y+4z+2022}{1+3y}+\frac{2x+3y+4z+2022}{1+4z}=\frac{4038}{1+2x}+\frac{4038}{1+3y}+\frac{4038}{1+4z}\ge4038.\frac{9}{3+2x+3y+4z}=4038.\frac{9}{2019}=18\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2x = 3y = 4z = 672
A = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\)
<=> A(2x + y + 2) = 2x + 3y
<=> 2x.A + y.A + 2.A = 2x + 3y
<=> 2x(1 - A) + (3 - A).y = 2.A
Áp dụng BĐT Bunhia côp xki ta có: [2x.(1 - A) + ( 3 - A).y]2 < (4x2 + y2) .[(1 - A)2 + (3 - A)2]
=> (2.A)2 < 2A2 -8A + 10
<=> - 2A2 - 8A + 10 > 0
<=> A2 + 4A - 5 < 0
<=> (A - 1).(A + 5) < 0 <=> -5 < A < 1
Vậy Min A = -5 . giải hệ -5 = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\); 4x2 + y2 = 1 => x ; y
Max A = 1 tại....
Ta khẳng định : Dấu '=' xảy ra tại x=a, y=b, z=c
Khi đó \(4a+3b+4c=22;\frac{1}{3x}=\frac{1}{3a}=\frac{x}{3a^2},\frac{2}{y}=\frac{2}{b}=\frac{2y}{b^2},\frac{3}{z}=\frac{3}{c}=\frac{3z}{c^2}\)và :
\(\frac{1}{3x}+\frac{x}{3a^2}\ge\frac{2}{3a},\frac{2}{y}+\frac{2y}{b^2}\ge\frac{4}{b},\frac{3}{z}+\frac{3z}{c^2}\ge\frac{6}{c}\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+z+\left(\frac{2}{3a}-\frac{x}{3a^2}\right)+\left(\frac{4}{b}-\frac{2y}{b^2}\right)+\left(\frac{6}{c}-\frac{3z}{c^2}\right)\)
\(=\left(1-\frac{1}{3a^2}\right)x+\left(1-\frac{2}{b^2}\right)y+\left(1-\frac{3}{c^2}\right)z+\left(\frac{2}{3a}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)\)(*)
Ta chọn a,b,c thích hợp để sử dụng giả thiết \(4x+3y+4z=22\).. Vậy thì các hệ số của x,y,z trong (*) phải thỏa:
\(\hept{\begin{cases}4a+3b+4c=22\\\frac{1-\frac{1}{3a^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{b^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{c^2}}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}}\)
Áp dụng bđt Svác xơ, ta có:
\(A\ge\dfrac{\left(\sqrt{2x}+\sqrt{3y}+\sqrt{4z}\right)^2}{2\left(4x^2+9y^2+16z^2\right)}\)\(=\dfrac{2x+3y+4z+2\left(\sqrt{6xy}+\sqrt{12yz}+\sqrt{8xz}\right)}{2}\)\(\ge\dfrac{1+2\left(3\sqrt[3]{\sqrt{576x^2y^2z^2}}\right)}{2}\)(BĐT Cô-si)\(\ge\dfrac{1+6}{2}=\dfrac{7}{2}\)
Vậy Amin=\(\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x}{9y^2+16z^2}=\dfrac{3y}{4x^2+16z^2}=\dfrac{4z}{4x^2+9y^2}\\\sqrt{6xy}=\sqrt{12yz}=\sqrt{8xz}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}y=2z\)
Viết lại bài toán: Cho \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm max \(\sum\dfrac{a}{b^2+c^2}\)
với a=2x, b=3y, c=4z.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a\left(b^2+c^2\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)
Do đó \(VT\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(A_{Min}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)