Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi
Ta có \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2=4\Rightarrow+xy+yz+zx=-7\)
vì \(x+y+z=2\Rightarrow z-1=1-x-y\Rightarrow\frac{1}{xy+z-1}=\frac{1}{xy+1-x-y}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}. \)
Suy ra \(S=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}. \)
\(\frac{z-1+x-1+y-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}=-\frac{1}{7}\)
b,Ap dung bdt cauchy schwarz dang engel ta co
\(B=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{a^2}{3}\)
xay ra dau = khi x=y=z=a/3
\(H\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy\left(x+y^3\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{2zx\left(z+x\right)}=\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{2yz\left(y+z\right)}+\frac{1}{2zx\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow H\ge\frac{9}{2}.\frac{1}{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)}\)
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT phụ được chứng minh
Hoàn toàn tương tự: \(y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\); \(z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow H\ge\frac{9}{2}.\frac{1}{x^3+y^3+y^3+z^3+z^3+x^3}=\frac{9}{4\left(x^3+y^3+z^3\right)}=\frac{9}{32}\)
\(H_{min}=\frac{9}{32}\) khi \(x=y=z=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
ai làm giúp mk vs ạ
cái dề bài câu b : P= là ở trên í ạ