Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề thi học kỳ 1 trường Ams
**Min
Từ \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2\le1;b^2\le1;c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\le1;b\le1;c\le1\Rightarrow a^2\le a;b^2\le b;c^2\le c\)
Khi đó:
\(\sqrt{a+b^2}\ge\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{b+c^2}\ge\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c+a^2}\ge\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)
Ta có:
\(\sqrt{1-c^2}\ge1-c^2\Leftrightarrow1-c^2\ge1-2c^2+c^4\Leftrightarrow c^2\left(1-c^2\right)\ge0\left(true!!!\right)\)
Tương tự cộng lại:
\(P\ge3-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) and hoán vị.
**Max
Có BĐT phụ sau:\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\left(ezprove\right)\)
Áp dụng:
\(\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\)
\(\le\sqrt{3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(a+b+c\right)+3}\)
\(\le\sqrt{3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\right)}=\sqrt{3\cdot\sqrt{3}+3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đặt \(x=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Có: \(x=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)
\(x=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
Khi đó, có: \(P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=x+\frac{1}{x^2}\)
Ta chứng minh \(P=x+\frac{1}{x^2}\le\frac{28}{9}\)
BĐT \(\Leftrightarrow9x^3-28x^2+9\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(9x^2-x-3\right)\le0\)(Luôn đúng vì \(\sqrt{3}\le x\le3\))
Vậy \(maxP=\frac{28}{9}\Leftrightarrow x=3\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(0;0;3\right)\right\}\)và các hoán vị.
\(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự và cộng lại, ta có:\(p\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\) mà 3(ab+bc+ca)\(\le\)(a+b+c)^2=9
=>ab+bc+ca\(\le\)3
=> \(p\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra =>a=b=c=1