Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\([(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2](1^2+1^2)\geq (a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^2=(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\)
\(\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\)
Tiếp tục áp dụng BDDT Bunhiacopxky:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}=4$
\(\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}(1+4)^2=12,5\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
\(\frac{1}{\left(1+a^2\right)}+\frac{1}{\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)+\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^2+1+a^2+ab+a^3b-2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\left(đ\text{ieu nay khong the x ra}\right)\)
\(\text{Dau }"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(P=3\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{1}{2ab}\ge\frac{3.4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{14}{\left(a+b\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
a/bc + b/ac >= 2.căn(1/c^2) = 2/c
tương tự:
a/bc + c/ab >= 2/b
b/ac + c/ab >= 2/a
cộng vế theo vế ;
ta đc
a/bc +b/ac+ c/ab >= 1/a +1/b +1/c
2)
a / (b+c) + 1 = (a+b+c)/(b+c)
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 = (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
áp dụng bđt cauchy quen thuộc
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) >= 9
=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
= (a+b + b+c + c+a)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >=9
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >= 9/2
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >=3/2
Chắc làm vậy
Bất đẳng thức là cái j vậy các anh chụy?