Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
bai nay t lam roi vao trang chu cua nick thangbnsh cua t keo xuong tim la thay
Câu hỏi của Tuyển Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
bài BĐT cuối làm r` mà ko nhớ ở đâu, bn vào đây tìm lại hộ mình Here nhân tiện ở đây cũng có 1 số bài BĐT+HPT+GPT hay lắm đấy chịu khó tìm nhé ko tìm dc bảo mình :v
mik nhác lém bn giải lun đc hk hoặc giải mấy bài khác cx đc =))
Lời giải:
Do \(ab+bc+ac=1\) nên:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(b^2+1=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c)\)
\(c^2+1=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)\)
Do đó:
\(A=a\sqrt{\frac{(b^2+1)(c^2+1)}{a^2+1}}+b\sqrt{\frac{(a^2+1)(c^2+1)}{b^2+1}}+c\sqrt{\frac{(b^2+1)(a^2+1)}{c^2+1}}\)
\(=a\sqrt{\frac{(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}{(a+b)(a+c)}}+b\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)(c+a)(c+b)}{(b+a)(b+c)}}+c\sqrt{\frac{(b+a)(b+c)(a+b)(a+c)}{(c+a)(c+b)}}\)
\(=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ac)=2\)
Vậy \(A=2\)
b)CM: \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\)
\(VT=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{\left(ab\right)^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=\sqrt{a^2b^2+1}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=0=VP\)
Từ \(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2017\)
\(\Leftrightarrow7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\le6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2017\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le2017\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(T=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2c^2+a^2\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{1^2}{b}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2b}+\dfrac{1^2}{c}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2c}+\dfrac{1^2}{a}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)\(=\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3c}\le\sqrt{\left(\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}\right)\left(\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}+\dfrac{9}{c^2}\right)}\)
\(\le\sqrt{\dfrac{1}{81}\cdot3\cdot9\cdot2017}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\)
Vậy \(T_{Max}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\) khi \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{3}{2017}}\)
So kimochiii~
Đẳng thức quen thuộc: \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\) và tương tự cho các mẫu số còn lại
Ta có:
\(\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Mặt khác:
\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\) (Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Đúng theo AM-GM:
\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)