Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Adminbird - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
Chứng minh rằng (a-1/b)(b-1/c)(c-1/a)>=(a-1/a)(b-1/b)(c-1/c) trong đó a,b,c là các số thực nhỏ hơn 1
Xét BĐT: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy},\forall x,y\ge1\)
Chứng minh: Quy đồng ta được: \(\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+y^2+xy+xy^3+1+x^2+xy+x^3y\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow2xy+xy^3+x^3y\ge x^2+y^2+2x^2y^2\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng \(\forall x,y\ge1\)
Không mất tính tổng quát giả sử c là số nhỏ nhất trong 3 số a, b, c
Áp dụng BDDT phía trên: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
Cần chứng minh: \(\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{1+ab}-\frac{1}{1+abc}\right)+\frac{1}{1+c^2}-\frac{1}{1+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2ab\left(c-1\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+abc\right)}+\frac{c\left(ab-c\right)}{\left(1+c^2\right)\left(1+abc\right)}\ge0\)đúng \(\forall a,b\ge c\ge1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh, dấu = xảy ra khi a=b=c=1
cảm ơn nha