Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt \((a-b,b-c,c-a)=(x,y,z)\)\(\Rightarrow x+y+z=0\).
Ta cần cm:
\(x^5+y^5+z^5\vdots 5xyz\) với \(x,y,z\neq 0\in\mathbb{Z}\)
Thật vậy:
\(x^5+y^5+z^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)+z^5\)
\(=(x+y)[x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4-5x^3y-5xy^3-5x^2y^2]+z^5\)
\(=(x+y)[(x+y)^4-5xy(x^2+y^2+xy)]+z^5\)
\(=(x+y)^5-5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)+z^5\)
\(=(-z)^5-5xy(-z)(x^2+y^2+xy)+z^5\)
\(=5xyz(x^2+y^2+xy)\vdots 5xyz\)
Do đó ta có đpcm.
Ta có: (a^5-a)= a(a^4-1)
= a(a^2-1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)
= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)
Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
=> a^5-a chia hết cho 30
=> (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c) chia hết cho 30
Mà a+b+c chia hết cho 30
=> a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30
Câu hỏi của trần thị bảo trân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi trên là c/m \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Vậy thì suy ra được \(a^3+b^3+c^3⋮3abc\)
Mấy câu còn lại tương tự
Ta có:
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b+10a^2b^3+5ab^4+b^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left(a^3+b^3+2a^2b+2ab^2\right)\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left[\left(a^3+b^3\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=-5abc\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Đặt \(x=a-b,y=b-c,z=c-a\to x+y+z=0.\) Ta có
\(\left(a-b\right)^5+\left(b-c\right)^5+\left(c-a\right)^5=x^5+y^5+z^5=x^5+y^5+\left(-x-y\right)^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5.\)
Mà \(\left(x+y\right)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5,\) suy ra
\(\left(a-b\right)^5+\left(b-c\right)^5+\left(c-a\right)^5=x^5+y^5-\left(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)
\(=-\left(5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4\right)=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=5xyz\left(x^2+xy+y^2\right)\vdots5xyz=5\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right).\)
Suy ra điều phải chứng minh.
không hiểu