LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
19 tháng 4 2019
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
TT : ....
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\frac{b+c}{4}-\frac{a+c}{4}-\frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)( 1 )
Mà a + b + c > 2 \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}>1\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>1\)
TV
3
TL
27 tháng 7 2018
áp dụng bdt svacxơ => VT >=(a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = (a+b+c)/2 = VP (dpcm)
T
28 tháng 5 2019
Xét hiểu hai vế: \(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b+c}-\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{c+a}-\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}-\frac{c}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-ab\right)+\left(a^2-ac\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(b^2-bc\right)+\left(b^2-ab\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{\left(c^2-ca\right)+\left(c^2-bc\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a-b\right)+a\left(a-c\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-c\right)+b\left(b-a\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-a\right)+c\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a-b\right)}{2\left(c+a\right)}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a^2+ac-b^2-bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (BĐT đúng)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Xảy ra đẳng thức khi a = b =c
CC
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 9 2020
\(a^2+1\ge2a\) ; \(b^2+1\ge2b\) ; \(c^2+1\ge2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)-3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge a+b+c+3\sqrt[3]{abc}-3=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
HP
1
25 tháng 2 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
ND
4
1 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT cô si ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\)
\(\Rightarrow BĐT\)cần \(CM\): \(3>\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c>3\)
Mà a,b,c > 0 => abc > 0
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2=b^2=c^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)
9 tháng 11 2015
abc = 1 => a3b3c3=1
<=> \(a^3+b^3+c^3+2a^3b^3+2b^3c^3+2a^3c^3+3a^3b^3c^3\ge3a^2b+3b^2c+3c^2a+3\)
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số dương ta có :
\(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^6c^6}\) <=> \(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\ge3\)Dấu = xảy ra khi a=b=c (1)
Tương tự ta có : \(a^3b^3c^3+a^3b^3+a^3\ge3a^2b\)Dấu = xảy ra duy nhất khi a=b=c=1 (2)
\(a^3b^3c^3+b^3c^3+b^3\ge3b^2c\) Dấu = xảy ra duy nhất khi a=b=c=1 (3)
\(a^3b^3c^3+a^3c^3+c^3\ge3c^2a\)Dấu = xảy ra duy nhất khi a=b=c=1 (4)
Cộng (1),(2),(3),(4) vế theo vế ta được ĐPCM (Dấu = xảy ra khi a=b=c=1)
Đây là cách giải của mình k rõ bạn làm sao nếu có cách khác hay hơn thì xin chỉ giáo :D
K
3
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
22 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với 2 bộ số \(\left(a,b,c\right)\)và \(\left(1,1,1\right)\)ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\).
Dấu \(=\)xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\).
22 tháng 1 2021
Còn cách khác :3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/3
Vậy ta có điều phải chứng minh