Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\) (do a > 0)
Tương tự: \(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Từ 3 bất đẳng thức trên suy ra:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
Ta sẽ chứng minh:
\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Thât vậy, do a, b, c là các cạnh của tam giác nên bất đẳng thức trên tương đương với
\(a\left(a+b+c\right)< 2a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac< 2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b-c\right)< 0\)
Bất đẳng thức này đúng vì a>0 và a < b + c (vì trong tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba).
Vậy ta có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự, \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên suy ra:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Mình chỉ chứng minh được bé hơn 2 thôi nhe
Theo bất đẳng thức tam giác thì b+c>a => \(\frac{a}{b+c}< \frac{a}{a}\left(=1\right)\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{b}{a+c}< 1\)
\(\frac{c}{a+b}< 1\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 3\)
Bài 1:
Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.
Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!
(cần thì ib t gửi link cho)
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt Cô Si: \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự,cộng theo vế và rút gọn =>đpcm
\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Áp dụng bđt CÔ si
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
.............
Theo BĐT Schur thì ta có:
\((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\)
Vậy thì giờ chỉ theo AM-GM là xong
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}=3\)
Bài 1:
a) Ta có: \(3x-10=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow3x-10=2x-1\)
\(\Leftrightarrow3x-10-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x-9=0\)
hay x=9
Vậy: S={9}
b) ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;2\right\}\)
Ta có: \(\frac{x+2}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x\left(x-2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}=\frac{2}{x\left(x-2\right)}\)
Suy ra: \(x^2+2x-x+2-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x=0\)
\(\Leftrightarrow x\cdot\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(ktm\right)\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1\left(tm\right)\)
Vậy: S={-1}
c) Ta có: \(\left|0,5x-1\right|=3-2x\)(1)
*Trường hợp 1: \(0,5x-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow0,5x\ge1\)
\(\Leftrightarrow x\ge2\)
(1)\(\Leftrightarrow0,5x-1=3-2x\)
\(\Leftrightarrow0,5x-1-3+2x=0\)
\(\Leftrightarrow2,5x-4=0\)
\(\Leftrightarrow2,5x=4\)
\(\Leftrightarrow x=1,6\)(loại)
*Trường hợp 2: x<2
(1)\(\Leftrightarrow1-0,5x=3-2x\)
\(\Leftrightarrow1-0,5x-3+2x=0\)
\(\Leftrightarrow-2+1,5x=0\)
\(\Leftrightarrow1,5x=2\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{2}{1,5}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}\)(tm)
Vậy: \(S=\left\{\frac{4}{3}\right\}\)
Bài 2:
Đổi \(30'=\frac{1}{2}h\)
Gọi x(km) là độ dài quãng đường AB(x>0)
Vận tốc của ô tô lúc đi từ B về A là:
\(35\cdot120\%=35\cdot\frac{6}{5}=\frac{210}{5}=42\)(km/h)
Thời gian của xe ô tô lúc đi từ A đến B là:
\(\frac{x}{35}\left(h\right)\)
Thời gian của xe ô tô lúc từ B về A là:
\(\frac{x}{42}\left(h\right)\)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi \(\frac{1}{2}h\)
nên thời gian đi nhiều hơn thời gian về \(\frac{1}{2}h\)
Vì thời gian đi nhiều hơn thời gian về \(\frac{1}{2}h\)
nên ta có phương trình: \(\frac{x}{35}-\frac{x}{42}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{6x}{210}-\frac{5x}{210}=\frac{105}{210}\)
\(\Leftrightarrow x=105\)(tm)
Vậy: Độ dài của quãng đường AB là 105km
Câu hỏi của Nữ hoàng sến súa là ta - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath tham khảo
Sửa lại bài:
Kẻ MN vuông góc với B'C'
Ta có: BB'//CC'(cùng vuông góc với d)<=>tứ giác BB'CC' là hình thang
Mà MN//BB'(cùng vuông góc với d)
Suy ra: BB'//MN//CC'
Xét hình thang BB'CC' có:
BB'//MN//CC' và BM=MC(gt)
Suy ra: N là trung điểm B'C'<=> B'N=C'N
Mà BM=MC
Suy ra: MN là đường trung bình của hình thang BB'CC'
Suy ra: \(MN=\frac{BB'+CC'}{2}\)(1)
Dễ chứng minh: \(\Delta_vAA'I=\Delta_vMNI\left(ch-gn\right)\)
Suy ra: \(AA'=MN\)(2)
Từ (1) và (2):
Suy ra" \(AA'=\frac{BB'+CC'}{2}\)
Vậy.....