Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(2x+\sqrt{5-x^2})^2\leq (x^2+5-x^2)(2^2+1)=25\)
\(\Rightarrow A\leq 5\)
Vậy \(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=2\)
Tìm min:
ĐKXĐ: \(5-x^2\geq 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}\)
Do đó : \(A=2x+\sqrt{5-x^2}\geq 2x\geq -2\sqrt{5}\)
Vậy \(A_{\min}=-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}\)
Bài 2 bạn xem xem có viết nhầm đề bài không nhé.
\(A=\frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}-2\)
Chỉ cần cho $b$ càng nhỏ thì giá trị của $A$ càng nhỏ rồi, mà lại không có điều kiện gì của $b$ ?
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT phụ:
\(3\left(a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2\)
P=\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{2a^2+b^2}+\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{3\left(a^2+a^2+b^2\right)}+3}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}P\le\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(2a+b\right)^2}+a+b+c}=\sum\dfrac{a}{3a+2b+c}\)
Xét M=\(\sum\dfrac{a}{3a+2b+c}\)
\(3-3M=\sum\dfrac{2b+c}{3a+2b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(3-3M=\sum\dfrac{\left(2b+c\right)^2}{\left(3a+2b+c\right)\left(2b+c\right)}\ge\)\(\dfrac{\left(3a+3b+3c\right)^2}{\sum\left(3a+2b+c\right)\left(2b+c\right)}\)
Mà
\(\sum\left(3a+2b+c\right)\left(2b+c\right)=5a^2+5b^2+5c^2+13ab+13bc+13ac=5\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)\le5\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\)\(3-3M\ge\dfrac{\left(3a+3b+3c\right)^2}{6\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(M\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}P\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow P\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta có\(\sqrt{2}\) A=\(\sum\sqrt{\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}=\sum\dfrac{\sqrt{2ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}\ge\sum\dfrac{2ab}{a^2+b^2}\)
=> \(\sqrt{2}A+3=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}\ge\dfrac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=4\Rightarrow\sqrt{2}A+3\ge4\)
=> \(A\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
dấu = xảy ra <=> 2 số =1, 1 số =0
- Với \(ab=0\), vai trò như nhau, giả sử
\(b=0\Rightarrow Q=\dfrac{a}{c}+\sqrt{\dfrac{2c}{a}}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2c}{a}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2c}{a}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}\)
- Với \(ab>0\)
\(Q=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+c\left(a+b\right)}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+c\left(a+b\right)}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}=\dfrac{2}{\dfrac{2c}{a+b}+1}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)
Đặt \(\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}=x>0\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{2}{x^2+1}+x=\dfrac{x^3+x+2}{x^2+1}=\dfrac{x^3-2x^2+x}{x^2+1}+2=\dfrac{x\left(x-1\right)^2}{x^2+1}+2\ge2\)
\(\Rightarrow Q_{min}=2\) khi \(x=\left\{0;1\right\}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=0;a=b\\a=b=c\end{matrix}\right.\)