Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)
P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
<=> \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)
đến đây ez tự làm nốt nhé, ko ra ib mk
từ giả thiết => \(ab+bc+ca=0\)
do đó \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\) => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
ta chứng minh bài toán pụ sau
nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
<=> \(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^2-3abc-3ab\left(a+b\right)=0\)
<=> \(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\) ( luôn đúng vì a+b+c=0)
Áp dụng ta có với \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) => \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\) (ĐPCM)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\) Hay \(a=b=c\) ( đề cho )
Vậy ta có đpcm : \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)