Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{2009}\left(1+2\right)\)
\(=3\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)⋮3\)
\(A=2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)
\(=7\left(2+...+2^{2008}\right)⋮7\)
b: \(=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+...+5^{2009}\left(1+5\right)\)
\(=6\left(5+5^3+...+5^{2009}\right)⋮6\)
Câu 1:
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ab-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\cdot\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]}{2}>=0\)
=>\(a^3+b^3+c^3>=3abc\)
\(\left(4a^2b^2\right)-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2>0\\ \Rightarrow\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2>0\\ \Rightarrow\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)>0\\ \Rightarrow\left(c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right)\left\{\left(a+b\right)^2-c^2\right\}>0\\ \Rightarrow\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\\ \Rightarrow\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\)
Luoonn đúng => đpcm
không cần đk là a,b,c là số thực cũng được @@
Sử dụng bất đẳng thức phụ \(x^2+y^2\ge2xy\)
chứng minh : \(x^2+y^2\ge2xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng vào bài toán ta được :
\(2.LHS\ge ab+bc+ca+ab+bc+ca=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(< =>LHS\ge ab+bc+ca\)
Dấu = xảy ra \(< =>a=b=c\)
Ta áp dụng Cauchy 2 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\cdot2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi \(\begin{cases}a^4=b^4\\c^4=d^4\\a^2b^2=c^2d^2\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)
Nhanh hơn có thể dùng Cauchy 4 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi các biến bằng nhau
\(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Thay $a=1; b=\frac{1}{2}; c=2$ ta thấy ngay đề sai. Bạn xem lại đề.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Vì 2ab < (a2 + b2) , 2ac < (a2 + c2) , 2bc < (b2 + c2)
Nên (a + b + c)2 < a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (a2 + c2) + (b2 + c2) = 3(a2 + b2 + c2)
Ta có \(\left(a^{1005}-b^{1005}\right)^2+\left(b^{1005}-c^{1005}\right)^2+\left(c^{1005}-a^{1005}\right)^2>0\Leftrightarrow a^{2010}-2a^{1005}b^{1005}+b^{2010}+b^{2010}-2b^{1005}c^{1005}+c^{2010}+c^{2010}-2a^{1005}c^{1005}+a^{1005}>0\Leftrightarrow2\left(a^{2010}+b^{2010}+c^{2010}\right)-2\left(a^{1005}b^{1005}+a^{1005}c^{1005}+c^{1005}b^{1005}\right)>0\Leftrightarrow a^{2010}+b^{2010}+c^{2010}>a^{1005}b^{1005}+a^{1005}c^{1005}+c^{1005}b^{1005}\)(đpcm)
0