Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Gọi D là trung điểm BC \(\Rightarrow OD\perp BC\)
Gọi E là trung điểm AM \(\Rightarrow OE\perp AM\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác OEMD là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
\(\Rightarrow MD=OE\) và \(ME=OD\)
\(MA^2+MB^2+MC^2=MA^2+\left(BD-MD\right)^2+\left(DC+MD\right)^2\)
\(=\left(2ME\right)^2+\left(BD-MD\right)^2+\left(BD+MD\right)^2\) (do \(BD=CD\))
\(=4ME^2+2BD^2+2MD^2\)
\(=2\left(ME^2+BD^2\right)+2\left(ME^2+MD^2\right)\)
\(=2\left(OD^2+BD^2\right)+2\left(OD^2+MD^2\right)\)
\(=2OB^2+2OM^2\)
\(=2R^2+2r^2\) cố định (đpcm)
b. Gọi G là giao điểm OM và AD
Theo c/m câu a ta có \(\left\{{}\begin{matrix}OD||AM\\OD=EM=\dfrac{1}{2}AM\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Talet: \(\dfrac{DG}{AG}=\dfrac{OD}{AM}=\dfrac{OG}{GM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AG=\dfrac{2}{3}AD\\OG=\dfrac{1}{3}OM\end{matrix}\right.\)
Do O, M cố định \(\Rightarrow\) G cố định
Mặt khác trong tam giác ABC do D là trung điểm AB \(\Rightarrow\) AD là trung tuyến
Mà \(AG=\dfrac{2}{3}AD\Rightarrow\) G là trọng tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow\) Trọng tâm tam giác ABC cố định
\(MA.MB=MC.MD\Leftrightarrow\Delta MAC\approx\Delta MDB\left(G-G\right)\)
Duong thang OM cat duong tron tai E,F
chung minh tuong tu ta co \(MA.MB=ME.MF=\left(R-d\right)\left(R+d\right)=R^2-d^2\)
\(a.\Delta MAD\&\Delta MBA:\widehat{MAD}=\widehat{MBA}\left(=\frac{1}{2}\widebat{AD}\right);\widehat{AMB}=\widehat{AMD}\Rightarrow\Delta MAD~\Delta MBA\left(g.g\right)\Rightarrow MD^2=MB.MC\)b.Do I là trung điểm dây CD nên OI vuông góc CD mà ^SBO=90=>S;B;O;I cùng thuộc một đtròn
Mà dễ thấy S;B;A;O cùng thuộc một đtròn nên S;B;I;O;A cùng thuộc một đtròn
Do đó ^SIA=^SBA,^SIB=^SAB.Mà ^SAB=^SBA(do SA,SB là tiếp tuyến (O))=>^SIA=^SIB=>Đpcm
c.^DIE=^DCA=^DBE=>B;D;E;I cùng thuộc một đtròn=>^DEB=^DIB=^SAB=>DE//SA=>DE//BC
d.
M A B C O N D
Gọi \(BC\) cắt \(\left(O;r\right)\) lần thứ hai tại \(N\), \(CD\) là đường kính của \(\left(O;R\right)\)
Do hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(BC\) là trung điểm của \(MN,BC\) nên \(MB=NC\)
Tính đối xứng tâm của đường tròn nên \(NC=AD,NC||AD\) hay \(MB=||AD\)
Suy ra \(AM=DB\). Ta biến đổi:
\(MA^2+MB^2+MC^2=MA^2+\left(MB+MC\right)^2-2MB.MC\)
\(=DB^2+BC^2-2\left(R^2-OM^2\right)=\left(2R\right)^2-2\left(R^2-r^2\right)=2\left(R^2+r^2\right)\)