Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm:
Bài 1:
Ta có: \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)
\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)
\(=\left(2x-1\right)^2+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)\(\ge0+2\sqrt{4x^2.\frac{1}{4x^2}}+14=2+14=16\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\4x^2=\frac{1}{4x^2}\end{cases}\Rightarrow x=\frac{1}{2}}\)
Vậy \(Min\left(T\right)=16\)khi \(x=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\left(1\right)\)
Ta xét \(\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{\left(c^2+a^2\right)-c^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{1}{c}-\frac{c}{c^2+a^2}=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b\)và \(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức trên lại ta được:
\(P\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\left(theo\left(1\right)\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\b^2=c^2\\c^2=a^2\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)
Vậy \(Min\left(P\right)=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
Học tốt!!!!
\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(\ge\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+2\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+18\)
\(\ge2+8+18=28\)
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
Đầu tiên ta chứng minh bổ đề.
Ta có
\(6=3.\frac{a^2}{3}+2.\frac{b^2}{2}+c^2\)
\(\ge6.\sqrt[6]{\left(\frac{a^2}{3}\right)^3.\left(\frac{b^2}{2}\right)^2.c^2}=6.\sqrt[6]{\frac{a^6b^4c^2}{3^3.2^2}}\)
\(\Rightarrow a^6b^4c^2\le3^3.2^2\)
Ta lại có:
\(P=3.\frac{a}{3bc}+4.\frac{b}{2ca}+5.\frac{c}{ab}\)
\(\ge12.\sqrt[12]{\left(\frac{a}{3bc}\right)^3.\left(\frac{b}{2ca}\right)^4.\left(\frac{c}{ab}\right)^5}\)
\(=\frac{12}{\sqrt[12]{3^3.2^4}.\sqrt[12]{a^6b^4c^2}}\)
\(\ge\frac{12}{\sqrt[12]{3^3.2^4}.\sqrt[12]{3^3.2^2}}=2\sqrt{6}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=\sqrt{2}\\c=1\end{cases}}\)
\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1+2\left(ab+bc+ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\ge\frac{1}{2}\)
\(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2\left(abbc+bcac+abac\right)\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{4}\)
Đến đây bạn tự làm tiếp nha
giải hộ nha gấp
mk thấy khó à nha