Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)
2) \(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+\dfrac{1}{4xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwa, ta có:
\(A\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
1) Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)3\ge\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{21}< 3\)(Sai)
Vậy đề sai, thử với a=0,5;b=0,1;c=0,4
Đặt \(A=\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bu - nhi - a - cốp - xki ta có :
\(A^2=\left(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+3+4b+3+4c+3\right)=3\left[4\left(a+b+c\right)+9\right]=3\left(12+9\right)=63\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\le\sqrt{63}=3\sqrt{7}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a) \(\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2x^2}}-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\)
= \(\sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4x^2}}-\sqrt{\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}}=\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{4x^2}}-\sqrt{\dfrac{5-2\sqrt{5}+1}{4}}\) = \(\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{\left(2x\right)^2}}-\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{2^2}}=\dfrac{\left|\sqrt{5}+1\right|}{\left|2x\right|}-\dfrac{\left|\sqrt{5}-1\right|}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2x}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Thay x = 1 vào biểu thức \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2x}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) ta được :
\(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{2}=1\)
Vậy tại x =1 thì giá trị của biểu thức \(\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2x^2}}-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\) là bằng 1
b) \(\dfrac{\sqrt{a^3+4a^2+4a}}{\sqrt{a\left(a^2-2ab+b^2\right)}}-\dfrac{\sqrt{b^3-4b^2+4b}}{\sqrt{b\left(a^2-2ab+b^2\right)}}+ab\)
= \(\sqrt{\dfrac{a\left(a^2+4a+4\right)}{a\left(a^2-2ab+b^2\right)}}-\sqrt{\dfrac{b\left(b^2-4b+4\right)}{b\left(a^2-2ab+b^2\right)}}+ab\)
= \(\dfrac{\sqrt{\left(a+2\right)^2}}{\sqrt{\left(a-b\right)^2}}-\dfrac{\sqrt{\left(b-2\right)^2}}{\sqrt{\left(a-b\right)^2}}+ab=\dfrac{a+2}{a-b}-\dfrac{b-2}{a-b}+ab\) = a - b + ab
Thay a = 4 và b = 3 vào biểu thức a - b +ab ta được :
4 - 3 + 4.3 = 13
Vậy tại a = 4 ; b = 3 thì giá trị của biểu thức \(\dfrac{\sqrt{a^3+4a^2+4a}}{\sqrt{a\left(a^2-2ab+b^2\right)}}-\dfrac{\sqrt{b^3-4b^2+4b}}{\sqrt{b\left(a^2-2ab+b^2\right)}}+ab\) là bằng 13
c) \(ab^2.\sqrt{\dfrac{4}{a^2b^4}}+ab=ab^2.\dfrac{2}{ab^2}+ab=2+ab\)
Thay a = 1 và b = -2 vào BT : 2 + ab ta được :
2 + 1.(-2) = 2 + (-2) = 0
Vậy tại a = 1 ; b = -2 thì giá trị của biểu thức \(ab^2.\sqrt{\dfrac{4}{a^2b^4}}+ab\) là bằng 0
d) \(\dfrac{a+b}{b^2}.\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2+2ab+b^2}}\) = \(\dfrac{a+b}{b^2}.\dfrac{\sqrt{a^2b^2}}{\sqrt{a^2+2ab+b^2}}=\dfrac{a+b}{b^2}.\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{ab}{b^2}\)
Thay a = 1 ; b =2 vào BT : \(\dfrac{ab}{b^2}\) ta được : \(\dfrac{1.2}{2^2}=\dfrac{1}{2}\)
Vậy tại a =1 ; b =2 GT của BT : \(\dfrac{a+b}{b^2}.\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2+2ab+b^2}}\) là \(\dfrac{1}{2}\)
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
Áp dụng liên tiếp AM - GM và Cauchy - Schwarz ta có :
\(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}\ge\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left(a^2+b^2\right)}}\)
\(=\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\)
\(=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+1+1\right)\left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+a^2+c^2\right]}\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\frac{3}{2}\left(a+\frac{b}{2}\right)+\frac{3}{4}b+a+c\right]\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}a+\frac{3}{2}b+c\right)\)
Chứng minh tương tự và công lại ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có:
\(\left(\sqrt{a}.\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{4a+3bc}}+\sqrt{b}\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{4b+3ac}}+\sqrt{c}\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{4c+3ab}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\right)\)
\(=2\left(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4a}{4a+3bc}+\dfrac{4b}{4b+3ac}+\dfrac{4c}{4c+3ab}\le2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3bc}{4a+3bc}+\dfrac{3ac}{4b+3ac}+\dfrac{3ab}{4c+3ab}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{4a+3bc}+\dfrac{ac}{4b+3ac}+\dfrac{ab}{4c+3ab}\ge\dfrac{1}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\dfrac{\left(bc\right)^2}{4abc+3\left(bc\right)^2}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{4abc+3\left(ac\right)^2}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{4abc+3\left(ab\right)^2}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab\right)^2+3\left(bc\right)^2+3\left(ca\right)^2+12abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab\right)^2+3\left(bc\right)^2+3\left(ca\right)^2+6abc\left(a+b+c\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)^2}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)