Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(2^{x+1}.\left(-3\right)^y=12^x\)
\(\Rightarrow2^{x+1}.\left(-3\right)^y=\left(3.4\right)^x\)
\(\Rightarrow2^{x+1}.\left(-3\right)^y=3^x.4^x\)
\(\Rightarrow2^{x+1}.\left(-3\right)^y=3^x.2^{2x}\)
\(\Rightarrow2^{x+1}.\left(-1\right)^y.3^y=3^x.2^{2x}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=2x\\x=y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy x=1 , y=1
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Mà \(x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le3\)
Ta có \(P=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+1+yz+1+xz+1}=\dfrac{9}{xy+yz+xz+3}\) (1)
Ta có \(xy+yz+xz\le3\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz+3\le6\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{xy+yz+xz+3}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(P_{min}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(\begin{cases}\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}=\frac{5}{2}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{9}{2}\end{cases}\)
<=>\(\begin{cases}xy+1=\frac{5\sqrt{xy}}{2}\\\sqrt{xy}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{9\sqrt{xy}}{2}\end{cases}\)
Đặt P=\(\sqrt{xy}\);S=\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)(S2\(\ge\)4P)
Ta có HPT: \(\begin{cases}P^2+1=\frac{5P}{2}\\S.P+P=\frac{9P}{2}\end{cases}\)
Tới đây dễ tự làm
|x-2|.y+|x-2|-17=0
<=>|x-2|.y+|x-2|=17
<=>|x-2|.(y+1)=17=1.17=17.1=(-1).(-17)=(-17).(-1)
Ta có: |x-2| và y+1 là ước của 17
Chú ý rằng |x-2| >= 0 với mọi x nên |x-2| là ước dương của 17,từ đó suy ra y+1 cũng là ước dương của 17
=>|x-2|.(y+1)=1.17=17.1
+)|x-2|=1 và y+1=17
=>x-2=-1 hoặc x-2=1 và y+1=17
=>x=1 hoặc x=3 và y=16
+)|x-2|=17 và y+1=1
=>x-2=-17 hoặc x-2=17 và y+1=1
=>x=-15 hoặc x=19 và y=0
Vậy ..........................
7/ Em sửa lại đề ạ
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab
Chứng minh rằng \(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Đổi biến \(\left(a,b\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)\)
Từ giả thiết => x+y=4
Ta có: BĐT cần CM tương đương với:
\(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{4}{x^2}+1}\ge\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{x\left(4+y^2\right)}+\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có:
∑\(\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy^2+x^2y}=\frac{16}{16+xy^2+x^2y}\)
Ta chỉ cần chứng minh:
\(xy^2+x^2y\le16\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le x^3+y^3\)(luôn đúng)
Do đó (1) đúng. BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi x=y=2⇔a=b=\(\frac{1}{2}\)
6. (chuyên Hòa Bình)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy+zx+4yz=32
Tìm giá trị nhỏ nhất của\(P=x^2+16y^2+16z^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x,y,z ta có
\(\hept{\begin{cases}8y^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8y^2.\frac{1}{2}x^2}=4xy\\8z^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8z^2.\frac{1}{2}x^2}=4xz\\8y^2+8z^2\ge2\sqrt{8y^2.8z^2}=16yz\end{cases}}\)
Cộng từng vế của ba bđt trên ta có
\(P\ge4\left(xy+xz+4yz\right)=4.32=128\)
\(\frac{5}{x}+\frac{y}{4}=\frac{1}{8}\)
\(=>\frac{5}{x}=\frac{1}{8}-\frac{y}{4}\)
\(=>\frac{5}{x}=\frac{1}{8}-\frac{2y}{8}=\frac{1-2y}{8}\)
\(=>x.\left(1-2y\right)=5.8=40\)
=>x và 1-2y là ước của 40
Do 1-2y là 1 số lẻ và là ước lẻ của 40
=>1-2y E {-1;1;-5;5}
+)1-2y=-1=>y=1
x=40:(-1)=>x=-40
+)1-2y=1=>y=0
x=40:1=>x=40
+)1-2y=-5=>y=3
x=40:(-5)=>x=-8
+)1-2y=5=>y=-2
x=40:5=>x=8
Vậy có 4 cặp (x;y) thỏa mãn đề bài là:(-40;1);(-40;0);(8;-2);(-8;3)
Ta có:1/(x+y)=1/x+1/y
<=>1/(x+y)=(x+y)/xy
<=>(x+y)(x+y)=xy
<=>(x+y)2=xy
Mà (x+y)2 >= 0 với mọi x;y(*)
xy<0( do x;y trái dấu).Mâu thuẫn với (*)
Vậy không tồn tại cặp (x;y) nào thoả mãn đề bài
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)
\(=>\frac{1}{x+y}=\frac{x+y}{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2=xy\)
nếu x; y trái dấu thì xy<0 mà \(\left(x+y\right)^2\ge0\)
Nên \(\left(x+y\right)^2\ne xy\) khi x;y trái dấu
Vậy không có các cặp (x;y) trái dấu thỏa mãn
ghi tao eo hieu j ca