Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Ta có: \(x^2-2x-1=\left(\sqrt{2}+1\right)^2-2\left(\sqrt{2}+1\right)-1=0\)
\(\Rightarrow P=\left(x^4-4x^3+4x^2-2\right)^5+\left(x^3-3x^2-x-1\right)^6\)
\(=\left[\left(x^4-2x^3-x^2\right)+\left(-2x^3+4x^2+2x\right)+\left(x^2-2x-1\right)-1\right]^5+\left[\left(x^3-2x^2-x\right)+\left(-x^2+2x+1\right)-2x-2\right]^6\)
\(=\left(-1\right)^5+\left(-2x-2\right)^6\)
Xong
5) Lợi dụng AM-GM :v
\(a^4+a^4+a^4+b^4\ge4a^3b\)
\(b^4+b^4+b^4+a^4\ge4b^3a\)
\(\Rightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+a^4+ab^3+a^3b=\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a+b}{2ab}+\dfrac{b+c}{2bc}+\dfrac{c+a}{2ac}=\dfrac{\left(a+b\right)c}{2abc}+\dfrac{\left(b+c\right)a}{2abc}+\dfrac{\left(c+a\right)b}{2abc}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{2abc}=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\)
a/ Đề sai (ko nói đến chuyện nhầm lẫn ở hạng tử thứ 2 lẽ ra là bc), bạn cho \(a=b=c=d=0,1\) là thấy vế trái lớn hơn vế phải
b/ \(\frac{1}{2}xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^6}{32}=\frac{64}{32}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
c/ Bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Ta có: \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\) ; \(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2c^2\); \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2a^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
Bài 2: Ta có: x, y, z không âm và \(x+y+z=\frac{3}{2}\)nên \(0\le x\le\frac{3}{2}\Rightarrow2-x>0\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta được: \(x+2xy+4xyz=x+4xy\left(z+\frac{1}{2}\right)\le x+4x.\frac{\left(y+z+\frac{1}{2}\right)^2}{4}=x+x\left(2-x\right)^2\)
Ta cần chứng minh \(x+x\left(2-x\right)^2\le2\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,\frac{1}{2},0\right)\)
Bài 3: Áp dụng đánh giá quen thuộc \(4ab\le\left(a+b\right)^2\), ta có: \(2\le\left(x+y\right)^3+4xy\le\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2\)
Đặt x + y = t thì ta được: \(t^3+t^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)\ge0\Rightarrow t\ge1\)(dễ thấy \(t^2+2t+2>0\forall t\))
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge\frac{1}{2}\)
\(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=3\left[\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)^2\right]-2\left(x^2+y^2\right)+1\ge\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)\(=\frac{9}{4}\left[\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\right]-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{9}{4}.2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^2.\frac{1}{4}}-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{1}{8}+\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Bài 3: \(3\left(\sqrt{2x^2+1}-1\right)=x\left(1+3x+8\sqrt{2x^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3-8x\right)\sqrt{2x^2+1}=3x^2+x+3\)
\(\Rightarrow\left(3-8x\right)^2\left(2x^2+1\right)=\left(3x^2+x+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow119x^4-102x^3+63x^2-54x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(7x-6\right)\left(17x^2+9\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{6}{7}\end{cases}}\)
Thử lại, ta nhận được \(x=0\)là nghiệm duy nhất của phương trình
1a.
\(2P=1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ca}{2b^2+ca}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\)
\(\Rightarrow2P=3-\left(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}+\frac{ab}{2c^2+ab}\right)\)
\(\Rightarrow2P=3-\left(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{c^2a^2}{2b^2ca+c^2a^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\right)\)
\(\Rightarrow2P\le3-\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)}=3-1=2\)
\(\Rightarrow P\le1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)
1b.
\(Q=\frac{a^2}{5a^2+b^2+c^2+2bc}+\frac{b^2}{5b^2+a^2+c^2+2ca}+\frac{c^2}{5c^2+a^2+b^2+2ab}\)
\(Q=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2+\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2+\left(2b^2+ca\right)+\left(2b^2+ca\right)}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2+\left(2c^2+ab\right)+\left(2c^2+ab\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}+2\left(\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\right)\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{9}\left(1+2\left(\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\right)\)
Theo kết quả câu a ta có:
\(\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{9}\left(1+2\right)=\frac{1}{3}\)
\(Q_{max}=\frac{1}{3}\) khi \(a=b=c\)
\(a+b=c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4=c^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=c^4\)
\(x^2=a^2+b^2+ab\Leftrightarrow x^4=\left(a^2+b^2+ab\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4=a^4+b^4++a^2b^2+2a^2b^2+2ab^3+2a^3b\)
\(\Leftrightarrow2x^4=2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+c^4\)
\(\left(x-2y\right)^6=x^6-6x^5\cdot2y+15x^4\cdot\left(2y\right)^2-20x^3\cdot\left(2y\right)^3+15x^2\cdot\left(2y\right)^4-6x\cdot\left(2y\right)^5+\left(2y\right)^6\)
\(=x^6-12x^5y+60x^4y^2-160x^3y^3+240x^2y^4-192xy^5+64y^6\)