Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét pt đã cho có \(\Delta=m^2-4.1.\left(-m-1\right)=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\ge0\)với mọi \(m\inℝ\)
Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm với mọi \(m\inℝ\)
Theo định lí Vi-ét, ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{-m}{1}=m\\x_1x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1\end{cases}}\)
Lại có \(\left|x_1-x_2\right|\ge3\)\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2\ge9\)(vì cả 2 vế của BĐT đầu đều lớn hơn 0)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge9\)\(\Leftrightarrow m^2-4\left(-m-1\right)\ge9\)\(\Leftrightarrow m^2+4m+4\ge9\)\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\ge9\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m+2\ge3\\m+2\le-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\ge1\\m\le-5\end{cases}}\)
Vậy các giá trị của m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\ge3\)là \(\orbr{\begin{cases}m\ge1\\m\le-5\end{cases}}\)
Theo Vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m+3}{2}&x_1.x_2=\frac{m}{2}&\end{cases}}\)
ĐĂT \(A=!x_1-x_2!\)
\(\Rightarrow A^2=\left(!x_1-x_2!\right)=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow A^2=\frac{\left(m+3\right)^2}{2^2}-\frac{4m}{2}\)
\(\Leftrightarrow4A^2=m^2-8m+16-16-9\)
\(\Leftrightarrow4A^2=\left(m-4\right)^2-25\ge25\)
\(Min4A^2=25\Rightarrow MinA=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2=0\Leftrightarrow m=4\) gía trị cần tìm
Vậy m=4 là giá trị cần tìm
\(\Leftrightarrow4A^2=m^2-2m+9\)
\(\Leftrightarrow4A^2=\left(m-1\right)+8\ge8\)
\(Min4A^2=8\Rightarrow MinA=\sqrt{2}\)
\(Khi\left(m-1\right)^2=0\Leftrightarrow m=1\)
Vậy \(m=1\)là giá trị cần tìm
a) Tam thức bậc hai có \(\Delta'=m^2-m+4=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\).
Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b) Theo Vi-et ta có:
\(x_1+x_2=2m,x_1.x_2=m-4\)
Điều kiển để \(x_1+x_2=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)
\(\Leftrightarrow2m=\frac{\left(2m\right)^3-3\left(m-4\right).2m}{m-4}\)
\(\Leftrightarrow2m\left(m-4\right)=8m^3-6m^2+8m\) và \(m\ne4\)
\(\Leftrightarrow4m\left(2m^2-2m+3\right)=0\) và \(m\ne4\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
bài 1: sửa đề nhát nha : cho phương trình \(mx^2-2mx+1=0\)
a) để phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-m\ge0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) phương trình có 3 nghiệm :
\(x_1=\dfrac{m+\sqrt{m^2-m}}{m};x_2=\dfrac{m-\sqrt{m^2-m}}{m}\) và \(x_1=x_2=x\) khi \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)
b) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)
giử sử 2 nghiệm của phương trình đó là : \(n\) và \(2n\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}mn^2-2mn+1=0\\4mn^2-4mn+1=0\end{matrix}\right.\)
giải phương trình bằng cách đặc ẩn phụ ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
vậy \(m=\dfrac{1}{2}\)
bài 2) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2-4\left(m^2-3m+3\right)\ge0\Leftrightarrow-3m^2+4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(-3m-2\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{-2}{3}\le x\le2\)
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=m^2-3m+3\\x_1+x_2=4-m\end{matrix}\right.\)
ta có : \(\dfrac{mx_1^2}{1-x_1}+\dfrac{mx_2^2}{1-x_2}=\dfrac{mx_1^2\left(1-x_2\right)+mx_2^2\left(1-x_1\right)}{\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)}\)
\(=\dfrac{mx^2_1+mx_2^2-mx_1^2x_2-mx_2^2x_1}{1-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}=\dfrac{m\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)-mx_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{1-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\)
\(=\dfrac{m\left(\left(4-m\right)^2-2\left(m^2-3m+3\right)\right)-m\left(m^2-3m+3\right)\left(4-m\right)}{1+m-4+m^2-3m+3}\)
\(=\dfrac{\left(m^2-2m\right)\left(m^2-6m+1\right)}{m^2-2m}=m^2-6m+1=\left(m-3\right)^2-8\)
kết hợp với điều kiện \(\dfrac{-2}{3}\le x\le2\) \(\Rightarrow\) (đpcm)
đâu "=" bên trái xảy ra khi \(x=2\) ; dấu "=" bên phải xảy ra khi \(x=\dfrac{-2}{3}\)