Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Vì \(\overrightarrow{BA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD}\) và \(BA=\frac{1}{3}CD\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\)
Để $B,M,D$ thẳng hàng \(\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{R}|\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+x\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD})+(x-\frac{1}{3})\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\overrightarrow{MD}+(x-\frac{1}{3})\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow (x-\frac{1}{3})\overrightarrow{MC}=(k-\frac{1}{3})\overrightarrow{MD}\)
Vì \(\overrightarrow{MC}; \overrightarrow{MD}\) không phải 2 vecto cùng phương nên điều trên chỉ xảy ra khi \(x-\frac{1}{3}=k-\frac{1}{3}=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Lấy điểm $I(a,b)$ sao cho \(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow (1-a, 1-b)-2(4-a, 3-b)+3(2-a, -2-b)=(0,0)\)
\(\Leftrightarrow (-1-2a,-11-2b)=(0,0)\Rightarrow a=-\frac{1}{2}; b=\frac{-11}{2}\)
Vậy \(I(-\frac{1}{2}; -\frac{11}{2})\)
Ta có:
\(|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})|\)
\(|2\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})|=2|\overrightarrow{MI}|\)
Để \(|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}|\) min thì \(|\overrightarrow{MI}|\) min. Điều này xảy ra khi $M$ là hình chiếu của $I$ trên $Ox$
Do đó \(M=(-\frac{1}{2};0)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-2=0\\2x+y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)\)
Gọi \(\left\{{}\begin{matrix}B\left(2-2b;b\right)\\C\left(c;-2c-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MB}=\left(1-2b;b-2\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(c-1;-2c-3\right)\end{matrix}\right.\)
Do \(M\in BC\Rightarrow\frac{1-2b}{c-1}=\frac{b-2}{-2c-3}\) \(\Leftrightarrow3bc+7b-5=0\) \(\Rightarrow c=\frac{-7b+5}{3b}\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{10}{3}-2b;b-\frac{5}{3}\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(c+\frac{4}{3};-2c-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right.\) mà AB=AC
\(\Rightarrow\left(\frac{10}{3}-2b\right)^2+\left(b-\frac{5}{3}\right)^2=\left(c+\frac{4}{3}\right)^2+\left(2c+\frac{8}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3b^2-10b+3=3c^2+8c\) (2)
Thế (1) vào (2) ta được:
\(9b^4-30b^3+16b^2+30b-25=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(b+1\right)\left(9b^2-30b+25\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=1\\b=-1\\b=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-\frac{2}{3}\\c=-4\\c=-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\\C\left(-4;7\right)\\C\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)\equiv A\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)\\C\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\) gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=\left(x+\frac{4}{3};y-\frac{5}{3}\right)\\\overrightarrow{CD}=\left(x+\frac{2}{3};y-\frac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}=\left(x+\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)+\left(y-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)\)
\(P=x^2+2x+\frac{8}{9}+y^2-2y+\frac{5}{9}\)
\(P=\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2-\frac{5}{9}\ge-\frac{5}{9}\)
\(\Rightarrow P_{min}=-\frac{5}{9}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\) hay \(D\left(-1;1\right)\)
TH2: bạn tự giải, thật ra D luôn là trung điểm AC
Đặt \(\overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM}=x.\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CN}=\left(x+1\right)\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\left(x+1\right)\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
P, M, N thẳng hàng \(\Rightarrow\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{x}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3}}\Rightarrow x=1\) \(\Rightarrow\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow\) B là trung điểm PC \(\Rightarrow P\left(-6;5\right)\)
Nếu bạn chưa học bài pt đường thẳng thì làm cách trên, còn học rồi thì đơn giản là thiết lập 2 pt đường thẳng BC và MN là xong
Xét vị trí của hai điểm P, Q, ta có:
\(\left(2.6-1-1\right)\left(-3.2+2-1\right)< 0\)
\(\Rightarrow P,Q\) khác phía so với \(\Delta\)
Phương trình đường thẳng PQ: \(\dfrac{x+3}{-3-6}=\dfrac{y+2}{-2-1}\Leftrightarrow x-3y-3=0\)
\(MP+MQ\) nhỏ nhất khi M, P, Q thẳng hàng hay M là giao điểm của PQ với \(\Delta\):
\(\Rightarrow M\) có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x-3y-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(0;-1\right)\)
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm $M(a,b)$. Vì $M\in (\Delta)$ nên $3a+2b+1=0(*)$
Ta có:
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=(a-1)(a-3)+(b-2)(b-4)\)
\(=a^2-4a+3+b^2-6b+8=(a-2)^2+(b-3)^2-2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp với $(*)$:
\([(a-2)^2+(b-3)^2](3^2+2^2)\geq [3(a-2)+2(b-3)]^2=(3a+2b-12)^2=(-1-12)^2\)
\(\Rightarrow (a-2)^2+(b-3)^2\geq 13\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=(a-2)^2+(b-3)^2-2\geq 13-2=11\)
Giá trị min này đạt tại \(\frac{a-2}{3}=\frac{b-3}{2}\). Kết hợp với $(*)$ suy ra $a=-1; b=1$
Vậy $M(-1,1)$
Do \(M\in\Delta\) gọi tọa độ M có dạng \(M\left(m;\frac{-3m-1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(m-1;\frac{-3m-5}{2}\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(m-3;\frac{-3m-9}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(m-1\right)\left(m-3\right)+\left(\frac{-3m-5}{2}\right)\left(\frac{-3m-9}{2}\right)\)
\(=m^2-4m+3+\frac{9m^2+42m+45}{4}\)
\(=\frac{13m^2+26m+57}{2}=\frac{13\left(m+1\right)^2+44}{2}\ge22\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=-1\Leftrightarrow M\left(-1;1\right)\)