Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M N O E F D H R Q P G
a) Dễ thấy: ^CMN = 900 - ^ACB/2; ^AOQ = ^OAB + ^OBA = 900 - ^ACB/2 => ^CMN = ^AOQ
=> Tứ giác AOQM nội tiếp => ^AQO = ^AMO = 900 (1)
Tương tự ta có: Tứ giác BOPN nội tiếp => ^BPO = ^BNO = 900 (2)
Từ (1) và (2) => ^AQO = ^BPO hay ^AQB = ^BPA => Tứ giác ABPQ nội tiếp (đpcm).
b) Xét \(\Delta\)AQB vuông tại Q: E là trung điểm cạnh AB => ^EQB = ^EBQ = ^ABC/2 = ^QBC
=> QE // BC (2 góc so le trong bằng nhau). Mà EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF // AB
Do đó 3 điểm E,Q,F thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit) (đpcm).
c) Sửa điểm E thành điểm R cho đỡ trùng.
+) C/m : ^BAC = 900 => AR = AC ?
Chứng minh tương tự câu b ta có: PE //AC, gọi G là hình chiếu của O trên cạnh AB
Do ^BAC = 900 => AB vuông góc AC. Từ đó: AC // OG // PE. Áp dụng hệ quả ĐL Thales thì có:
\(\frac{r}{AD}=\frac{OG}{AD}=\frac{EG}{EA}=\frac{PO}{PA}=\frac{ON}{AR}=\frac{r}{AR}\)=> AD=AR (đpcm).
+) C/m : AR = AD => ^BAC = 900 ?
Lại theo hệ quả ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{OG}{AD}=\frac{r}{AR}=\frac{ON}{AR}=\frac{PO}{PA}=\frac{EO}{ED}\)
=> OG // AC (ĐL Thales đảo). Mà OG vuông góc AB => AB vuông góc AC hay ^BAC = 900 (đpcm).
d) Hệ thức cần chứng minh \(\Leftrightarrow r\left(AB+BC+CA\right)=OC\left(MN+2PQ\right)\)
\(\Leftrightarrow S_{ABC}=S_{CMON}+2S_{CPOQ}\Leftrightarrow2S_{AOB}=2S_{CPOQ}\Leftrightarrow S_{AOB}=S_{CPOQ}\)
\(\Leftrightarrow OG.AB=OC.PQ\Leftrightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{OG}{OC}\Leftrightarrow\frac{OQ}{OA}=\frac{OM}{OC}\)(Do tứ giác ABPQ nội tiếp)
\(\Leftrightarrow\Delta AOQ~\Delta COM\left(g.g\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AQO}=\widehat{CMO}\left(=90^0\right)\\\widehat{OAQ}=\widehat{OCM}\left(=\widehat{OMQ}\right)\end{cases}}\)(Điều này hiển nhiên đúng)
Vậy hệ thức cần chứng minh là đúng => ĐPCM.
Lời giải:
a) Thấy $BI,BJ$ là hai phân giác của hai góc kề bù nên \(BI\perp BJ\Rightarrow \angle IBJ=90^0\)
Tương tự \(\angle ICJ=90^0\). Do đó \(\angle IBJ+\angle ICJ=180^0\) nên $BICJ$ nội tiếp
b)
Để ý \(\angle EBI=\angle \frac{A}{2}+\angle \frac{B}{2}=\angle BIE\Rightarrow \triangle BIE\) cân tại $E$ nên $IE=BE$
Khi đó\((\frac{IE}{ME})^2=(\frac{BE}{ME})^2=\frac{BM^2}{ME^2}+1=\cot ^2\frac{\angle EBC}{2}=1+\cot^2\frac{A}{2}=\frac{1}{\sin^2 \frac{A}{2}}(1)\)
Theo công thức bán kinh đường tròn bàng tiếp:
\((\frac{JA}{NJ})^2=(\frac{JA}{JK})^2=\frac{1}{\sin ^2\frac{A}{2}}(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \frac{IE}{ME}=\frac{JA}{NJ}\). Kết hợp với \(\angle MEI=\angle NJI\Rightarrow \triangle MEI\sim \triangle NJA\)
\(\Rightarrow \angle EIM=\angle JAN\Rightarrow IM\parallel AN\) (đpcm)
c) Nhìn hình thức xấu quá, hên xui vậy
Ta có \(\triangle ICJ\sim \triangle BNJ\Rightarrow IC=\frac{CJ.BN}{NJ}\)
Tứ giác $NCKJ$ nội tiếp nên theo định lý Ptoleme \(NK=\frac{2NC.NJ}{CJ}\)
\(\Rightarrow IC.NK=2BN.NC\)
Biết rằng \(JK=r_A=p\tan\frac{A}{2}\rightarrow AK=p\rightarrow NC=CK=p-b\rightarrow BN=p-c\)
\(\rightarrow IC.NK=2(p-b)(p-c)\)
\(\left\{\begin{matrix} \frac{ID}{DA}=\frac{DM}{DN}=\frac{DE}{DJ}=\frac{IE}{AJ}\\ \frac{ID}{DA}=\frac{DM}{DN}=\frac{ME}{NJ}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{ID^2}{DA^2}=\frac{IE^2-ME^2}{JA^2-NJ^2}=\frac{BM^2}{AK^2}=\frac{a^2}{4p^2}\Rightarrow\frac{ID}{DA}=\frac{a}{2p}\)
\(AK^2=p^2\). Mặt khác theo định lý hàm cos:
\(AN^2=AB^2+BN^2-2AB.BN\cos\angle ABC=c^2+(p-c)^2-2c(p-c)\cos\frac{A}{2}\)
Có đủ các dữ kiện rồi thì chỉ cần biến đổi đại số thôi